[論文レビュー] Reconstruction of signals from their autocorrelation and cross-correlation vectors, with applications to phase retrieval and blind channel estimation

Kishore Jaganathan, Babak Hassibi|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2016

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 36被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、自己相関および相互相関ベクトルから2つの信号を再構成するための半定値計画法（SDP）に基づく手法を提案する。この手法は位相再構成およびブラインドチャネル推定の問題を扱い、リフトを用いた凸緩和により、グローバル位相を除いて安定かつ一意の回復を達成する。ノイズ環境下では、古典的なシルベスター行列法に比べ顕著に優れた性能を示す。

ABSTRACT

We consider the problem of reconstructing two signals from the autocorrelation and cross-correlation measurements. This inverse problem is a fundamental one in signal processing, and arises in many applications, including phase retrieval and blind channel estimation. In a typical phase retrieval setup, only the autocorrelation measurements are obtainable. We show that, when the measurements are obtained using three simple "masks", phase retrieval reduces to the aforementioned reconstruction problem. The classic solution to this problem is based on finding common factors between the $z$-transforms of the autocorrelation and cross-correlation vectors. This solution has enjoyed limited practical success, mainly due to the fact that it is not sufficiently stable in the noisy setting. In this work, inspired by the success of convex programming in provably and stably solving various quadratic constrained problems, we develop a semidefinite programming-based algorithm and provide theoretical guarantees. In particular, we show that almost all signals can be uniquely recovered by this algorithm (up to a global phase). Comparative numerical studies demonstrate that the proposed method significantly outperforms the classic method in the noisy setting.

研究の動機と目的

• 位相再構成およびブラインドチャネル推定に生じる、自己相関および相互相関測定値から信号を再構成する基本的な逆問題に取り組む。
• 古典的な多項式の根を求めることに依存する手法（例：シルベスター行列）がノイズ環境で不安定であるのを克服するため、凸最適化フレームワークを導入する。
• ノイズなしの場合に、グローバル位相を除いて信号の一意的回復が保証されることを理論的に示す。
• 追加の測定値（例：位相再構成における複数のマスクからの測定）を凸制約として組み込むことで、耐性を高める。
• 加法的ノイズ下での安定性および再構成精度の観点から、古典的手法に比べてSDPベースの手法が優れていることを実証する。

提案手法

• 信号ベクトルをランク1の正定値行列にリフトする標準的なリフト技術を用いて、再構成問題を半定値計画問題（SDP）として定式化する。
• 測定モデルとして、観測値と予測値の間の二乗誤差を最小化するが、リフトされた行列が正定値であることを制約条件に含める。
• 最適化問題を次のように定式化する：∑|trace(AₘX) − bₘ|² を X ≽ 0 の制約下で最小化する。ここで bₘ はノイズを含む測定値である。
• 真の信号がランク1の行列に対応することを利用し、実際には核ノルム緩和またはトレース正則化により回復を実現する。
• 追加の測定値（例：位相再構成における複数のマスク）をSDPに追加のアフィン制約として組み込むことで、安定性を向上させる。
• 加法的ホワイトガウスノイズをモデル化するために目的関数に ℓ₂-ノルム最小化を適用し、スパースノイズの場合は代替として ℓ₁-ノルムの選択も可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 凸最適化フレームワークは、ノイズが存在する状況下でも、自己相関および相互相関ベクトルから安定的かつ一意的に信号再構成を可能にするか？
• RQ2 ノイズ環境下での性能について、提案されたSDPベースの手法は古典的なシルベスター行列に基づく手法に比べてどのように優れているか？
• RQ3 位相再構成における複数のマスクからの追加測定値は、SDPフレームワーク内での再構成安定性をどの程度向上させるか？
• RQ4 ノイズなしの状況下で、信号の（グローバル位相を除く）一意的回復が保証される条件は何か？
• RQ5 SDPフレームワークは、自己相関および相互相関ベクトルの最小限のセットを超えて、追加の制約や測定値を自然に組み込むことができるか？

主な発見

• 数値シミュレーションにおいて、すべてのSNRレベルで、提案されたSDPベースの手法が古典的なシルベスター行列法に比べて顕著に低い正規化平均二乗誤差（NMSE）を達成する。
• ノイズなしの場合、SDP定式化により、グローバル位相を除いてほぼすべての信号が一意に回復され、理論的保証が与えられている。
• ノイズありの状況下でも、SDP手法は安定した性能を示し、SNRの対数スケール上でNMSEがほぼ線形に減少する。
• 位相再構成における3つのマスクからの測定値といった追加測定値の組み込みにより、再構成の安定性がさらに向上し、シミュレーションでNMSEの低減が確認された。
• SDPフレームワークは、追加のアフィン制約として余分な測定値を自然に扱えるが、古典的手法ではこのようなデータを活用できない。
• 相互相関ベクトルが3つの自己相関測定値から導かれる場合（例：位相再構成）でも、同手法はノイズ分散が適切にモデル化された状況で依然として頑健である。