[論文レビュー] Blind Deconvolutional Phase Retrieval via Convex Programming

Ali Ahmed, Alireza Aghasi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2018

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、二つの信号をその円型畳み込みの位相なしフーリエ測定値から回復するための凸最適化フレームワークを提案する。双線形畳み込み測定値を行列回復問題に持ち上げ、新たな凸緩和を適用することで、両信号が次元 $ k $ および $ n $ の既知のランダム部分空間上にある場合、初期化を必要とせず、$ m \gg (k+n)\log^2 m $ 個の測定値から信号を正当に回復できる。

ABSTRACT

We consider the task of recovering two real or complex $m$-vectors from phaseless Fourier measurements of their circular convolution. Our method is a novel convex relaxation that is based on a lifted matrix recovery formulation that allows a nontrivial convex relaxation of the bilinear measurements from convolution. We prove that if the two signals belong to known random subspaces of dimensions $k$ and $n$, then they can be recovered up to the inherent scaling ambiguity with $m >> (k+n) \log^2 m$ phaseless measurements. Our method provides the first theoretical recovery guarantee for this problem by a computationally efficient algorithm and does not require a solution estimate to be computed for initialization. Our proof is based Rademacher complexity estimates. Additionally, we provide an ADMM implementation of the method and provide numerical experiments that verify the theory.

研究の動機と目的

• 二つの未知の信号をその円型畳み込みの位相なしフーリエ測定値から回復するという不適切に定式化された問題に対処すること。
• 初期推定値や解の推定値を必要としない計算効率の良いアルゴリズムの開発。
• 凸緩和アプローチを用いたブラインドデコンボリューション位相再構成のための初めての理論的回復保証の提供。
• 信号が既知の低次元部分空間上にある場合に正確な回復が可能となる条件の確立。

提案手法

• 双線形畳み込み測定値をリフト行列形式を用いて行列回復問題に変換する。
• 双線形測定値に新たな凸緩和を適用し、非凸問題を半正定値計画問題に変換する。
• 両信号が既知のランダム部分空間上にあるものと仮定し、既知の行列 $ \boldsymbol{B} \in \mathbb{H}^{m \times k} $ および $ \boldsymbol{C} \in \mathbb{H}^{m \times n} $ を用いてパラメータ化する。
• 効率的な凸計画問題の解法として、ADMMに基づく実装を用いる。
• ADMMスキームは、リフト行列変数、双対変数、および正定値行列錐への射影ステップを含む。
• $ \boldsymbol{u} $-更新ステップでは、KKT条件を用いた制約付き最適化問題を解き、各成分について四次多項式方程式に帰着される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラインドデコンボリューション位相再構成は、正当な回復保証を持つ凸緩和によって解けるか？
• RQ2 信号が既知の部分空間上にある場合、正確な回復に必要な位相なしフーリエ測定値の最小数は何か？
• RQ3 提案手法は、位相なし測定値を伴うブラインドデコンボリューション問題において、初期化の必要性を排除できるか？
• RQ4 双線形畳み込み構造は、回復の忠実性を保ちつつ、効果的に凸計画問題に緩和可能か？
• RQ5 ラデマッハ複雑度フレームワークは、非線形かつ双線形測定モデルにおいて理論的回復境界をどのように支援するか？

主な発見

• 両信号が次元 $ k $ および $ n $ の既知のランダム部分空間上にある場合、$ m \gg (k+n)\log^2 m $ 個の位相なしフーリエ測定値から信号を正当に回復できる。
• スケーリングの曖昧性に起因する固有の不確かさを除き、正確な回復が達成され、初期化は不要である。
• 理論的回復保証は、ラデマッハ複雑度推定を用いて確立され、測定値の数に対する非漸近的バウンドが得られる。
• 数値実験により理論的予測が確認され、位相情報が欠落した測定値からのぼやけた画像の成功した回復が示された。
• ADMM実装により、半正定値計画問題が効率的に解かれる。各 $ \boldsymbol{u} $-更新は、KKT条件から導かれた四次多項式方程式により解かれる。
• 本手法は、位相情報が失われる応用分野、例えばX線回折結晶学、回折イメージング、可視光通信においても回復を可能にする。