[論文レビュー] BranchHull: Convex bilinear inversion from the entrywise product of signals with known signs

Alireza Aghasi, Ali Ahmed+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2017

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、符号が既知でかつ低次元部分空間に属する2つのベクトルの要素ごとの積からそれらを回復するための凸最適化フレームワーク、BranchHullを紹介する。符号が既知で部分空間が既知の条件下で、測定数が部分空間次元の和の2倍を超えると、スケーリングのあいまいさを除き高確率で正確な回復が達成され、小さな密なノイズに対してもロバストで、サンプル複雑度は信号次元に対して線形である。

ABSTRACT

We consider the bilinear inverse problem of recovering two vectors, $x$ and $w$, in $\mathbb{R}^L$ from their entrywise product. For the case where the vectors have known signs and belong to known subspaces, we introduce the convex program BranchHull, which is posed in the natural parameter space that does not require an approximate solution or initialization in order to be stated or solved. Under the structural assumptions that $x$ and $w$ are members of known $K$ and $N$ dimensional random subspaces, we present a recovery guarantee for the noiseless case and a noisy case. In the noiseless case, we prove that the BranchHull recovers $x$ and $w$ up to the inherent scaling ambiguity with high probability when $L\ \gg\ 2(K+N)$. The analysis provides a precise upper bound on the coefficient for the sample complexity. In a noisy case, we show that with high probability the BranchHull is robust to small dense noise when $L = Ω(K+N)$. BranchHull is motivated by the sweep distortion removal task in dielectric imaging, where one of the signals is a nonnegative reflectivity, and the other signal lives in a known wavelet subspace. Additional potential applications are blind deconvolution and self-calibration.

研究の動機と目的

• 符号と部分空間制約が既知である条件下で、2つのベクトルの要素ごとの積からそれらを回復する双線形逆問題に対処すること。
• 初期化や近似解の必要性を排除し、自然なパrameter空間に直接凸計画問題を定式化することで、直接的なアプローチを提供すること。
• ガウス確率的部分空間仮定の下で、ノイズなしの場合の正確な回復とノイズありの場合のロバスト性に関する理論的保証を提供すること。
• 非負で低次元部分空間に属する信号が関与する実用的応用、例えば誘電体イメージング、ブラインドデコンボリューション、自己キャリブレーションにおいて有効であることを可能にすること。

提案手法

• 未知の2つのベクトルのパrameter空間に直接定式化された凸最適化プログラム、BranchHullを提案する。初期化を必要としない。
• ベクトルの既知の符号を用いて凸可能集合を定義し、双線形問題の凸緩和を可能にする。
• 2つの信号の積空間上での凸計画問題に変換するため、リフト技術を用いる。
• 既知の部分空間と符号情報に基づく制約を課し、解が妥当な点の凸包内に存在することを保証する。
• 標準的な内点法を用いて得られた凸計画問題を解き、グローバル最適性と安定性を保証する。
• ガウス確率的部分空間仮定の下で、ランダム行列理論と集中不等式を用いて回復保証を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期化や近似解を必要とせず、要素ごとの積から2つのベクトルを凸最適化プログラムで回復できるか？
• RQ2 信号が確率的部分空間に属し符号が既知である場合、正確な回復に必要な最小の測定数は何か？
• RQ3 ノイズの下での回復性能はどのようにスケーリングされ、小さな密なノイズに対してもロバストであるか？
• RQ4 ノイズありの場合の安定的回復の正確なサンプル複雑度の閾値は何か？
• RQ5 提示された構造的仮定の下で、BranchHullの凸定式化は高確率で正確な回復を達成するか？

主な発見

• ノイズなしの場合、測定数Lが部分空間次元KとNの和の2倍を超えると、スケーリングのあいまいさを除き高確率で真のベクトルが回復される（L > 2(K + N)）。
• サンプル複雑度係数の明確な上界が得られ、L ≫ 2(K + N) が高確率回復に十分であることが示された。
• ノイズありの場合、L = Ω(K + N) で小さな密なノイズに対してロバストであり、ノイズレベルεが小さいとき回復誤差はO(√ε)のスケーリングを示す。
• 数値実験では、LとK + Nの間で線形関係が確認され、合成実験ではL > 2(K + N) の条件下で100%の回復成功率が達成された。
• 実験的回復誤差はノイズレベルに線形に増加する傾向を示しており、εに線形依存があることを示唆するが、理論的には√εのスケーリングが予測されているため、よりタイトな理論的境界の可能性がある。
• 実用的には、サンプリング比約2.5で安定的回復が達成され、L ≈ 2.5(K + N) がロバスト推定に十分であることが示された。