[論文レビュー] Bloch's Conjecture, Deligne Cohomology and Higher Chow Groups

Morihiko Saito|ArXiv.org|Oct 21, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 33被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、一般化されたデリーニュコhomologyの帰納的極限を用いてアーベル・ジャコビ写像の核を記述することにより、ブロッホの予想、デリーニュコhomology、および高次チャウ群の間の関係を確立する。特に対象となる超平面切断がブロッホの予想を満たす場合に、codimension 2 サイクルに対するアーベル・ジャコビ写像の核の記述がなされ、アーベル・ジャコビ写像の全単射性が証明され、特定の状況下でノリの予想が検証され、ベイリンソンの公式が非正則な滑らか多様体へと拡張される。

ABSTRACT

We express the kernel of Griffiths' Abel-Jacobi map by using the inductive limit of Deligne cohomology in the generalized sense (i.e. the absolute Hodge cohomology of A. Beilinson). This generalizes a result of L. Barbieri-Viale and V. Srinivas in the surface case. We then show that the Abel-Jacobi map for codimension 2 cycles and the Albanese map are bijective if a general hyperplane section is a surface for which Bloch's conjecture is proved. In certain cases we verify Nori's conjecture on the Griffiths group. We also prove a weak Lefschetz-type theorem for (higher) Chow groups, generalize a formula for the Abel-Jacobi map of higher cycles due to Beilinson and Levine to the smooth non proper case, and give a sufficient condition for the nonvanishing of the transcendental part of the image by the Abel-Jacobi map of a higher cycle on an elliptic surface, together with some examples.

研究の動機と目的

• アーベル・ジャコビ写像の核の記述を、一般化（絶対ホッジ）的意味でのデリーニュコhomologyの帰納的極限を用いて一般化すること。
• アーベル・ジャコビ写像がcodimension 2 サイクルに対して全単射となる条件を確立すること、特に一般超平面切断がブロッホの予想を満たす場合に焦点を当てる。
• 特定の幾何的状況下で、ノリのグリフィス群に関する予想を検証すること。
• 高次サイクルに対するベイリンソンのアーベル・ジャコビ写像の公式を、滑らかで非正則な場合へと拡張すること。
• 楕円曲面上の高次サイクルのアーベル・ジャコビ像の超越的部の非零性を保証する十分条件を提示すること、関連例を併記すること。

提案手法

• ベイリンソンの意味での一般化されたデリーニュコhomology（絶対ホッジコホモロジー）の帰納的極限を用いて、アーベル・ジャコビ写像の核を記述する。
• 高次チャウ群の理論とそれらがデリーニュコホモロジーと関係する事項を用いて、代数的同値関係による代数的サイクルの分析を行う。
• （高次）チャウ群に対する弱いレフシェッツ型定理を適用し、多様体のコホモロジー的性質とその超平面切断の性質との関係を結びつける。
• 滑らかで、非正則な多様体の場合にまで、ベイリンソンのアーベル・ジャコビ写像の公式を適応する。
• 楕円曲面の理論を用いて、アーベル・ジャコビ像の超越的部が非零となる例を構成する。
• ブロッホの予想の文脈で、アーベル・ジャコビ写像の全単射性を鍵的道具として用い、有限性および単射性に関する結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 codimension 2 サイクルに対するアーベル・ジャコビ写像の核が、一般化されたデリーニュコホモロジーの帰納的極限によって記述可能となる条件は何か？
• RQ2 一般超平面切断がブロッホの予想を満たすと仮定した場合、codimension 2 サイクルに対するアーベル・ジャコビ写像が全単射となる条件は何か？
• RQ3 提案された枠組みを用いて、ノリのグリフィス群に関する予想がどの状況で検証可能となるか？
• RQ4 高次サイクルに対するベイリンソンのアーベル・ジャコビ写像の公式は、どのように滑らかで非正則な多様体へと一般化できるか？
• RQ5 楕円曲面上の高次サイクルのアーベル・ジャコビ像の超越的部が非零となるための条件は何か？

主な発見

• codimension 2 サイクルに対するアーベル・ジャコビ写像の核は、一般化されたデリーニュコホモロジー群の帰納的極限と自然に同型である。
• 一般超平面切断がブロッホの予想を満たすならば、codimension 2 サイクルに対するアーベル・ジャコビ写像は全単射である。
• 超平面切断がブロッホの予想を満たす表面であるような状況において、ノリのグリフィス群に関する予想が検証される。
• 高次チャウ群に対して弱いレフシェッツ型定理が確立され、多様体のチャウ群とその超平面切断のチャウ群との関係が明示される。
• 楕円曲面上の高次サイクルのアーベル・ジャコビ像の超越的部が非零となるための十分条件が提示され、具体的な例が示される。
• ベイリンソンによる高次サイクルのアーベル・ジャコビ写像の公式が、滑らかで非正則な場合へと一般化され、その適用範囲が拡張される。