[論文レビュー] Block Kronecker Linearizations of Matrix Polynomials and their Backward Errors

Froilán M. Dopico, Piers W. Lawrence+2 more|MIMS EPrints (University of Southampton)|Jul 16, 2017

Matrix Theory and Algorithms参考文献 45被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、行列多項式のための新しい強線形化の族、ブロッククリロネッカー線形化を導入する。この線形化は、完全な多項式固有値問題に対する後退安定な解法を可能にする。有限の摂動に対して有効な厳密な後退誤差解析を提供し、計算された固有構造がわずかに摂動された多項式のものと正確に一致することを示している。この解析は、広範な線形化のクラスに適用可能な明確な境界を有する。

ABSTRACT

We introduce a new family of strong linearizations of matrix polynomials---which we call "block Kronecker pencils"---and perform a backward stability analysis of complete polynomial eigenproblems. These problems are solved by applying any backward stable algorithm to a block Kronecker pencil, such as the staircase algorithm for singular pencils or the QZ algorithm for regular pencils. This stability analysis allows us to identify those block Kronecker pencils that yield a computed complete eigenstructure which is exactly that of a slightly perturbed matrix polynomial. The global backward error analysis in this work presents for the first time the following key properties: it is a rigurous analysis valid for finite perturbations (i.e., it is not a first order analysis), it provides precise bounds, it is valid simultaneously for a large class of linearizations, and it establishes a framework that may be generalized to other classes of linearizations. These features are related to the fact that block Kronecker pencils are a particular case of the new family of "strong block minimal bases pencils", which are robust under certain perturbations and, so, include certain perturbations of block Kronecker pencils. We hope that this robustness property will allow us to extend the results in this paper to other contexts.

研究の動機と目的

• 行列多項式のための新しい強線形化のクラスを開発し、完全な多項式固有値問題を解く際に後退安定性を保証すること。
• 一階近似を避ける有限の摂動に対して有効な厳密な後退誤差解析を実施すること。
• ブロッククリロネッカー・ペナルティを含む、広範な線形化族に同時に適用可能な明確な後退誤差境界を確立すること。
• 計算された固有構造がわずかに摂動された行列多項式のものと正確に一致する条件を同定すること。
• 強ブロック最小基底ペナルティの枠組みを用いて、他の線形化クラスへの一般化の基盤を築くこと。

提案手法

• 双対最小基底およびブロック最小基底の構造に基づいて導出される、新しい強線形化の族であるブロッククリロネッカー・ペナルティを提案する。
• 係数行列を識別可能な部分行列を有するブロック対角形に変換するために、直交変換および行・列の置換を適用する。
• 構造的行列 $\hat{C}_{\varepsilon-1}(L_{\varepsilon}(\lambda))$ および $\hat{C}_{\varepsilon}(L_{\varepsilon}(\lambda))$ の特異値解析を用いて、後退誤差を評価する。
• これらの係数行列の最小特異値が $\sigma_{\min}(M_\varepsilon) = 2\sin\left(\frac{\pi}{4\varepsilon+2}\right)$ に一致することを確立し、これが後退誤差境界を決定することを示す。
• 変換後の行列の直交性と同値性を活用して特異値を保存し、正確な誤差評価を可能にする。
• 強ブロック最小基底ペナルティの枠組みを用いて、摂動に対して頑健性を確保し、他の線形化族への一般化を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限の摂動に対して有効であり、一階近似に依存しない、行列多項式固有値問題のための厳密な後退誤差解析をどのように構築できるか。
• RQ2 計算された固有構造がわずかに摂動された行列多項式のものと正確に一致するためには、線形化がどのような性質を有する必要があるか。
• RQ3 ブロッククリロネッカー・ペナルティは、他の線形化と比較して、後退誤差境界および安定性の観点でどのように異なるか。
• RQ4 後退誤差解析をブロッククリロネッカー・ペナルティを超える他の線形化クラスへ一般化できるか。
• RQ5 最小インデックスおよび双対最小基底は、頑健で後退安定な線形化を構築する上で果たす役割は何か。

主な発見

• 後退誤差解析は厳密であり、一階近似に制限されず、有限の摂動に対して有効である。
• 主要な行列 $M_\varepsilon$ の最小特異値は $\sigma_{\min}(M_\varepsilon) = 2\sin\left(\frac{\pi}{4\varepsilon+2}\right)$ であり、これが後退誤差境界を決定する。
• この最小特異値は $\sigma_{\min}(M_\varepsilon) \geq \frac{3}{2(\varepsilon+1)}$ を満たし、誤差解析に有用な下界を提供する。
• 解析により、ブロッククリロネッカー・ペナルティの計算された固有構造が、後退誤差の大きさで制限されるわずかに摂動された行列多項式のものと正確に一致することが示された。
• 強ブロック最小基底ペナルティの枠組みにより、摂動に対して頑健性が確保され、他の線形化族への結果の拡張が可能である。
• 係数行列 $C_{\varepsilon-1}(L_{\varepsilon}(\lambda))$ および $C_{\varepsilon}(L_{\varepsilon}(\lambda))$ の特異値は直交変換下で保存され、正確な誤差評価が可能になる。