[論文レビュー] Block patterns in Stirling permutations

Jeffrey B. Remmel, Andrew Timothy Wilson|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2014

Advanced Combinatorial Mathematics被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、スターリング順列およびkスターリング順列におけるブロックパターンを導入し、包含関係に基づく階層的ブロック構造と縮約形を定義する。一般化された母関数枠組みを確立し、順列におけるパターン列挙をスターリング順列におけるブロックパターンの列挙に翻訳する。これにより、ウィルフ同値性の結果が得られ、指数型母関数を用いたベッセル多項式の新たな解釈が可能になる。

ABSTRACT

We introduce and study a new notion of patterns in Stirling and $k$-Stirling permutations, which we call block patterns. We prove a general result which allows us to compute generating functions for the occurrences of various block patterns in terms of generating functions for the occurrences of patterns in permutations. This result yields a number of applications involving, among other things, Wilf equivalence of block patterns and a new interpretation of Bessel polynomials. We also show how to interpret our results for a certain class of labeled trees, which are in bijection with Stirling permutations.

研究の動機と目的

• 階層的包含関係と縮約形の同型を用いて、スターリング順列およびkスターリング順列におけるブロックパターンを定義・形式化すること。
• 既知の順列パターン母関数を用いて、ブロックパターン出現の母関数を計算する一般化された手法を確立すること。
• 提案された母関数枠組みを用いて、ブロックパターンのウィルフ同値性を示し、指数型母関数を介してベッセル多項式と関連付けること。
• 枠組みをkスターリング順列へ拡張し、再帰的積分に基づく母関数構成を提供すること。

提案手法

• ブロックは、σにおけるiの2回目の出現を含む区間[i,i]_σとして定義され、ネストされた包含関係によってレベルが決定され、縮約形の同型によって特徴づけられる。
• レベルℓのブロックは再帰的に定義される：あるブロックがレベルℓ−1のブロックに含まれており、かつその縮約形が親ブロックの縮約形においてレベル1のブロックであるとき、そのブロックはレベルℓに属する。
• ブロックパターンは、連続する要素を下線で示す順列であり、その出現は順序同型で連続する部分列の一致として定義される。
• 主な結果は再帰的母関数公式である：G^A,p(t;x;y) = F^{A1,p1}( y1 * ∫₀ᵗ ∏ⱼ G^{sh_j(A),sh_j(p)}(u; sh_j(x); sh_j(y)) du , x1 ) であり、ブロックパターン母関数を順列パターン母関数に結びつける。
• 指数型母関数と積分変換を用いて、各レベルにおけるブロック構造とパターン統計を符号化する。
• 特に、指数関数的または双曲線関数などの簡略化された積分を用いることで、ブロックサイズやタイプが制限された場合の閉形式母関数が導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 階層的包含関係と縮約形を用いて、スターリング順列におけるブロックパターンをどのように形式的に定義できるか？
• RQ2 スターリング順列におけるブロックパターンの母関数と、古典的順列パターンの母関数との関係は何か？
• RQ3 提案された母関数枠組みを用いて、ブロックパターンのウィルフ同値性を確立できるか？
• RQ4 枠組みをkスターリング順列へどのように拡張できるか？また、その結果得られる再帰的積分表現は何か？
• RQ5 この枠組みを適用することで、どのような新しい組合せ的解釈が得られるか？例えば、ベッセル多項式との関連は？

主な発見

• 本稿は、順列パターン母関数をスターリング順列におけるブロックパターン母関数に写像する一般化された母関数変換を確立した。
• ウィルフ同値性は、母関数枠組みを介して、元の順列パターンにおける同値性に起因することを示した。
• ベッセル多項式が、スターリング順列における特定のブロックパターン統計の指数型母関数として新たな解釈を得た。
• kスターリング順列では、母関数が低レベルの母関数の積分の積を用いた再帰的表現で表される。
• 特に、ブロックタイプが偶数長または奇数長に制限された場合、双曲線関数を用いて閉形式母関数が得られた。
• この枠組みにより、例えばレベル2で偶数長の部分ブロックを持つ制約付きのスターリング順列の列挙が、解析的に取り扱える積分を用いて可能になった。