[論文レビュー] Blow-up for the 1D nonlinear Schrödinger equation with point nonlinearity II: Supercritical blow-up profiles

Justin Holmer, Chang Liu|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2017

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、$L^2$ 超臨界的領域（$p > 3$）における1次元非線形シュレーディンガー方程式の点非線形性に対して、自己相似的爆発解を構成する。問題は、放物型ウェーバー関数を含む定常的プロファイル方程式に還元され、ガンマ関数およびディガンマ関数を用いて原点におけるジャンプ条件を解き、エネルギー空間 $L^\frown \bigcap \tilde{H}^1$ 内の出射解の存在および一意性を証明する。わずかに超臨界的領域 $p \approx 3$ においては、対数ビネットの公式と停留化法を用いて明示的な漸近的挙動が得られる。

ABSTRACT

We consider the 1D nonlinear Schrödinger equation (NLS) with focusing \emph{point nonlinearity}, $$i\partial_tψ+ \partial_x^2ψ+ δ|ψ|^{p-1}ψ= 0$$ where $δ=δ(x)$ is the delta function supported at the origin. In the $L^2$ supercritical setting $p>3$, we construct self-similar blow-up solutions belonging to the energy space $L_x^\infty \cap \dot H_x^1$. This is reduced to finding outgoing solutions of a certain stationary profile equation. All outgoing solutions to the profile equation are obtained by using parabolic Weber functions and solving the jump condition at $x=0$ imposed by the $δ$ term. This jump condition is an algebraic condition involving gamma functions, and existence and uniqueness of solutions is obtained using the intermediate value theorem and formulae for the digamma function. We also compute the form of these outgoing solutions in the slightly supercritical case $0

研究の動機と目的

• 1次元非線形シュレーディンガー方程式の焦点的点非線形性を有する $L^2$ 超臨界的領域（$p > 3$）における明示的自己相似的爆発解を構成すること。
• 自己相似的爆発アンザッツから生じる定常的プロファイル方程式について、エネルギー空間 $L_x^\frown \cap \dot{H}_x^1$ 内での解の存在および一意性を確立すること。
• デルタ関数非線形性によって引き起こされる $x=0$ におけるジャンプ条件を、ガンマ関数を含む代数的制約によって解明すること。
• 対数ビネットの公式と経路変形法を用いて、わずかに超臨界的領域（$0 < p-3 \ll 1$）における爆発プロファイルの漸近的形を計算すること。

提案手法

• 自己相似的爆発アンザッツを、複素パrameter $\kappa$, $h$, および $\sigma_c$ を含む定常的プロファイル方程式に還元し、デルタ関数非線形性を含む。
• 変数変換 $\eta(z) = e^{-\frac{1}{4}ihz^2}\varphi(z)$ を用いて、逆調和振動子ポテンシャルを持つシュレーディンガー型方程式に変換する。
• 逆調和振動子の固有値問題の基本解として放物型ウェーバー関数を用い、無限遠における所定の漸近的挙動を満たす。
• ガンマ関数を含む接続公式を用いて $x=0$ におけるジャンプ条件を課し、複素平面上の代数的方程式に帰着させる。
• 中間値の定理およびディガンマ関数の性質を応用し、ジャンプ条件を満たす解の存在および一意性を証明する。
• 対数ビネットの公式、経路変形、停留化法／ラプラス法を用いて、超臨界的領域 $p \approx 3$ におけるプロファイルの漸近展開を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元NLSの点非線形性が $L^2$ 超臨界的領域（$p > 3$）にある場合、自己相似的爆発解は存在するか？
• RQ2 このような爆発解はエネルギー空間 $L_x^\infty \cap \dot{H}_x^1$ 内で明示的に構成可能か？
• RQ3 デルタ関数非線形性によって引き起こされる原点におけるジャンプ条件が、解のプロファイルを決定づける役割を果たすか？
• RQ4 わずかに超臨界的領域（$p \approx 3$）における爆発プロファイルはどのように振る舞うか？
• RQ5 特殊関数と停留化法を用いて、プロファイルの漸近展開を導出可能か？

主な発見

• 1次元NLSの点非線形性が $L^2$ 超臨界的領域（$p > 3$）にある場合、自己相似的爆発解は存在し、エネルギー空間 $L_x^\infty \cap \dot{H}_x^1$ に属する。
• 定常的プロファイル方程式の出射解は、ガンマ関数を含む代数的ジャンプ条件を解くことで一意に定まる。存在および一意性は中間値の定理およびディガンマ関数の恒等式によって確立される。
• わずかに超臨界的領域（$0 < p-3 \ll 1$）において、爆発プロファイルは対数ビネットの公式と停留化法を用いて漸近的に計算され、明示的な一次近似の挙動が得られる。
• 超臨界的領域におけるプロファイルの主な寄与は、複素平面上の変形された経路に沿った停留化解析から生じる。位相関数は $\theta_0 = \arcsin\alpha$ で最小値を示す。
• $\alpha \gg 1$ の場合、虚軸上の線分 $\gamma_3$ からの積分寄与は漸近的に $g_3(\alpha, h^{-1}) \approx (2\pi)^{1/2} e^{-\pi/(2h)} e^{-ih^{-1}} h^{-1/2}$ と評価され、超臨界的極限において急速に減衰することが示される。
• 全プロファイルは $L^\infty$ および $\dot{H}^1$-正則であることが示され、原点における特異性にもかかわらずエネルギー空間に属することが確認される。