[論文レビュー] BMO solvability and the $A_\infty$ condition for second order parabolic operators

Martin Dindoš, Stefanie Petermichl+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2015

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ひとこと要約

本稿は、時刻に依存する係数をもつ2階放物型作用素について、有界解におけるCarleson測度性質と放物型測度の$A_\infty$条件との間の同値性を確立する。$L^p$可解性が放物型測度の$A_\infty$性質と同値であることを証明し、可解性の解析を簡略化し、特にCarleson正則係数をもつ作用素に対して、問題が可解となる$p$の範囲について定量的な推定を可能にする、新たな基準を提示する。

ABSTRACT

We prove that the $A_\infty$ property of parabolic measure for operators in certain time-varying domains is equivalent to a Carleson measure property of bounded solutions. Kircheim, Kenig, Pipher, and T. Toro established this criterion on bounded solutions in the elliptic case, improving an earlier result of Dindos, Kenig and Pipher for solutions with data in BMO. The extension to the parabolic setting requires an approach to the key estimate that primarily exploits the maximum principle. For various classes of parabolic operators, this criterion makes it easier to establish the solvability of the Dirichlet problem with data in $L^p$ for some $p$ (see results of Rivera-Noriega), and also to quantify these results in several aspects.

研究の動機と目的

• 2階放物型作用素の有界解におけるCarleson測度性質と放物型測度の$A_\infty$性質との間の基準を確立すること。
• 時間依存性に起因する困難を克服し、楕円型の$A_\infty$-Carleson基準を放物型設定に拡張すること。
• Carleson正則係数をもつ放物型作用素のクラスについて、$L^p$可解性のより簡単な証明を提供し、$p$に関する明示的な定量的依存性を含めること。
• 特に、係数摂動のCarlesonノルムに依存する逆Hölder指数の依存関係を追跡することで、Dirichlet問題が可解となる$p$の範囲を定量的に特定すること。

提案手法

• 著者らは、基準作用素$L_1$と元の作用素$L_0$の間を滑らかに接続する作用素族$L_s = \partial_t - \mathrm{div}(A_s\nabla\cdot)$を構成する摂動法を用いる。
• 集合$F \subset \Delta_r$で$\sigma(F \cap \Delta_r) > \sigma(\Delta_r)/2$を満たすものに対して、鋸歯状領域の構成を用い、鋸歯状領域上では$A_2$と一致し、それ以外では$A_0$と一致する行列$A_1$を定義する。
• この方法は、[DJk]および[N]の結果を用いて、放物型測度$\omega_{L_2}$と$\omega_{L_1}$を比較することに依存し、$\omega_{L_2} \in B_{1+\delta}$ならば$\omega_{L_1} \in B_{1+\delta}$が成り立つことを示す。
• 主な推定では、最大原理と放物型容量技法を用いて、テント領域における勾配の$L^2$ノルムを境界データのBMOノルムと関連づける。
• 係数差$|A_0 - A_2|$に対してCarleson測度条件を適用し、$\delta(X)^{-2-n} \sup_{B_{\delta(X)/2}(X)} |A_0 - A_2|$が、元のCarlesonノルム$K_0$の定数倍で有界なCarleson測度であることを保証する。
• 逆Hölderクラスの推移性を用いて、$L_2$から$L_0$への$B_{1+\delta}$性質の伝播を可能とし、$\omega_{L_0} \in B_{1+\delta'}$が得られ、ここで$\delta'$は$n, \lambda, \Lambda, \ell, \|\mu\|_{\mathrm{Carl}}$に明示的に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時刻に依存する領域における有界解のCarleson測度性質と、放物型測度の$A_\infty$条件が同値であるか？
• RQ2 放物型Dirichlet問題の$L^p$可解性は$A_\infty$性質によって確立可能であり、$p$の範囲は定量的に特定可能か？
• RQ3 係数にCarleson勾配条件が成り立つ場合、ある$p > 1$に対して$L^p$可解性が成立するか？また、$p$はCarlesonノルムにどのように依存するか？
• RQ4 Carleson条件を満たす係数の摂動を用いて、作用素族全体にわたり逆Hölder性および$A_\infty$性質をどのように伝播できるか？

主な発見

• 放物型測度の$A_\infty$性質は、有界解におけるCarleson測度性質と同値であり、楕円型基準が放物型設定に拡張された。
• 係数がCarleson勾配条件を満たす作用素に対しては、すべての$p > (1+\delta')/\delta'$に対して$L^p$ Dirichlet問題が可解であり、ここで$\delta' > 0$は$n, \lambda, \Lambda, \ell, \|\mu\|_{\mathrm{Carl}}$に依存する。
• BMO Dirichlet問題は、連続関数$f$に対して、$\sup_{\Delta \subset \partial\Omega} \sigma(\Delta)^{-1} \int_{T(\Delta)} |\nabla u|^2 \delta \, dXdt \lesssim \|f\|_{BMO}^2$という推定をもって可解である。
• 可解性の閾値$p$がCarlesonノルムに依存する関係が定量的に特定され、$C(p) \to \infty$（$p \to \infty$のとき）となることから、Carlesonノルムが大きくなるほど$p$の範囲が狭くなることが示された。
• 本手法により、[Rn]で研究された作用素、特に境界の時間微分の$BMO$ノルムが小さい作用素に対して、$L^p$可解性のより簡単な証明が得られた。
• 逆Hölderクラスの推移性により、$L_2$から$L_0$への$B_{1+\delta}$性質の伝播が$O(\epsilon_0^{-1})$ステップで可能となり、$\omega_{L_0} \in B_{1+\delta'}$が得られ、ここで$\delta'$は領域および強楕円性パラメータの関数として明示的に下から抑えられる。