[論文レビュー] Bogomolov-Tian-Todorov theorems for Landau-Ginzburg models

Ludmil Katzarkov, Maxim Kontsevich+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 34被引用数 37

ひとこと要約

本稿では、Calabi-Yau型のコンパクト化のもとで、Landau-Ginzburgモデルのモジュライ空間の滑らかさを示すことで、Bogomolov-Tian-Todorovの非遮断定理を確立する。f-適応対数形式のホッジ〜ド・ラームのスペクトル系列に対して、二重退化性の性質を導入し、鏡像対称性およびncホッジ構造を用いて、モジュライ空間上に標準的な特別座標を構成する。

ABSTRACT

In this paper we prove the smoothness of the moduli space of Landau-Ginzburg models. We formulate and prove a Tian-Todorov theorem for the deformations of Landau-Ginzburg models, develop the necessary Hodge theory for varieties with potentials, and prove a double degeneration statement needed for the unobstructedness result. We discuss the various definitions of Hodge numbers for non-commutative Hodge structures of Landau-Ginzburg type and the role they play in mirror symmetry. We also interpret the resulting families of de Rham complexes attacted to a potential in terms of mirror symmetry for one parameter families of symplectic Fano manifolds and argue that modulo a natural triviality property the moduli spaces of Landau-Ginzburg models posses canonical special coordinates.

研究の動機と目的

• Y が自明な正則標準束を持つ場合に、Landau-Ginzburgモデル $(Y, w)$ の変形の非遮断性を証明すること。
• 特に、正則交差境界除数を持つコンパクト化LGモデルに対して、ポテンシャル付き多様体のホッジ理論を構築すること。
• 非遮断性の証明に不可欠な、ホッジ〜ド・ラームのスペクトル系列に対する二重退化性の性質を確立すること。
• ncホッジ構造の歪み付き標準拡張を用いて、コンパクト化LGモデルのモジュライ空間上に標準的な特別座標を定義すること。
• 鏡像対称性を通じて、AモデルとBモデルのncホッジ構造を結びつけ、Bモデル構造の特別性が標準的装飾および座標をもたらすことを示すこと。

提案手法

• D_\mathbb{Z} が厳密な正則交差を持つ還元済み反標準的除数であるとき、対 $(\mathbb{Z}, f)_{D_\mathbb{Z}}$ を制御する $L_∞$-代数として変形問題を定式化すること。
• f-適応対数形式のホッジ〜ド・ラームスペクトル系列の二重退化性を確立することで、$L_\infty$-代数がホモトピー的にアーベル的であることを証明すること。
• 二重退化性を用いて、形式的万有変形空間 $\mathscr{M}_{(\mathbb{Z}, f)_{D_\mathbb{Z}}}$ が滑らかであることを示すこと。
• de Rham複体 $(\Omega_Y^\bullet[u], ud - d w \wedge)$ を用いて、Bモデルのncホッジ構造 $({}^\text{{\sf B}}H^\bullet, {}^\text{{\sf B}}\nabla)$ を定義し、無限大におけるモノドロミーを研究すること。
• Bモデルのncホッジ構造の歪み付き標準拡張 $\widetilde{H}$ を導入し、$u = \infty$ における平坦切断 $\psi$ を定義することで、標準的装飾を構成すること。
• 鏡像対称性を用いて、AモデルからBモデルへ特別性（歪み付き拡張の正則的自明性）を移行させ、モジュライ空間上に標準的特別座標を保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Landau-Ginzburgモデルのモジュライ空間が滑らかである条件は何か？
• RQ2 二重退化性の性質が、コンパクト化LGモデルの非遮断的変形を保証するために果たす役割は何か？
• RQ3 Fano多様体の1パラメータ族において、LGモデルのホッジ数およびncホッジ構造は、鏡像対称性とどのように関係するか？
• RQ4 コンパクト化LGモデルのモジュライ空間上に標準的特別座標が存在するための条件は何か？
• RQ5 特別性（歪み付き標準拡張の自明性）であるncホッジ構造は、鏡像対称性およびモノドロミーによってどのように生じるか？

主な発見

• Calabi-Yau型コンパクト化を施したコンパクト化LGモデルの万有変形空間 $\mathscr{M}_{(\mathbb{Z}, f)_{D_\mathbb{Z}}}$ は滑らかであり、非遮断的変形が確立される。
• f-適応対数形式のホッジ〜ド・ラームスペクトル系列に対して、二重退化性の性質が成り立つ。これは、$L_\infty$-代数がホモトピー的にアーベル的であることを示唆する。
• LGモデルがタメのCalabi-Yauコンパクト化を許容するとき、Bモデルのncホッジ構造 $({}^\text{{\sf B}}H^\bullet, {}^\text{{\sf B}}\nabla)$ は特別である。その歪み付き標準拡張は正則的に自明である。
• 複素射影直線 $\mathbb{P}^1_u \times \mathscr{M}$ 上の普遍Bモデル変動 $({}^{\boldsymbol{\textgoth{B}}}H, {}^{\boldsymbol{\textgoth{B}}}\nabla)$ は、歪み付き拡張の自明性および $u = \infty$ における平坦切断 $\psi$ を用いて、標準的装飾を備える。
• コンパクト化LGモデルのモジュライ空間 $\mathscr{M}$ 上の標準的特別座標は、標準的装飾データから構成され、自然な自明性条件を除いて成立する。
• シンプレクティックFano多様体に対して、Aモデルのncホッジ構造は特別（歪み付き拡張が自明）であり、この性質はBモデルにも反映され、モジュライ空間上に標準的座標を保証する。