[論文レビュー] Bohr operator on analytic functions

Yusuf Abu-Muhanna, Rosihan M. Ali+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2019

Advanced Banach Space Theory参考文献 26被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、単位円板内における正則関数に対して、Bohr作用素 $\mathcal{M}_r(f) = \sum_{n=0}^\infty |a_n|r^n$ を用いたノルム理論的枠組みを導入し、劣分数関係および準劣分数関係の下で鋭い不等式を確立する。$f \prec h$ ならば、$|z| \leq 1/3$ に対して $\mathcal{M}_r(f) \leq \mathcal{M}_r(h)$ が成り立ち、$k$-次部分和に対しては半径 $1/2$ および $1/3$ について類似の評価を与える。さらに、Schwarz関数に対してvon Neumann型不等式を導出する。

ABSTRACT

For $f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$ and a fixed $z$ in the unit disk, $|z| = r,$ the Bohr operator $\mathcal{M}_r$ is given by \[\mathcal{M}_r (f) = \sum_{n=0}^{\infty} |a_n| |z^n| = \sum_{n=0}^{\infty} |a_n| r^n.\] This papers develops normed theoretic approaches on $\mathcal{M}_r$. Using earlier results of Bohr and Rogosinski, the following results are readily established: if $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}z^{n}$ is subordinate (or quasi-subordinate) to $h(z)=\sum_{n=0}^{\infty} b_{n}z^{n}$ in the unit disk, then \[\mathcal{M}_{r}(f) \leq \mathcal{M}_{r}(h), \quad 0 \leq r \leq 1/3,\] that is, \[\sum_{n=0}^{\infty} \ | a_{n}\ | |z|^{n} \leq \sum_{n=0}^{\infty} \ | b_{n}\ |t |z|^{n}, \quad 0 \leq |z| \leq 1/3. \] Further, each $k$-th section $s_k(f) = a_0 + a_1 z + \cdots + a_kz^k$ satisfies \[\ | s_k(f)\ | \leq \mathcal{M}_r \ ( s_k(h)\ ), \quad 0 \leq r \leq 1/2,\] and \[\mathcal{M}_{r}\ ( s_{k}(f) \ ) \leq \mathcal{M}_{r}(s_{k}(h)), \quad 0 \leq r \leq 1/3.\] A von Neumann-type inequality is also obtained for the class consisting of Schwarz functions in the unit disk.

研究の動機と目的

• 単位円板内における正則関数に対するBohr作用素 $\mathcal{M}_r$ のノルム理論的アプローチを構築すること。
• 古典的BohrおよびRogosinskiの半径結果を劣分数関係および準劣分数関係の文脈に拡張すること。
• 正則関数の部分和（セクション）に適用したBohr作用素に対する鋭い評価を確立すること。
• Schwarz関数に対して、$\mathcal{M}_r$ 作用素を用いたvon Neumann型不等式を導出すること。
• 作用素論的技法を用いて、先行研究の主要化および係数推定に関する結果を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• 作用素 $\mathcal{M}_r(f) = \sum_{n=0}^\infty |a_n|r^n$ を $|z| = r < 1$ に対して定義し、正則関数のバナッハ代数としてのノルムとして扱う。
• $\mathcal{M}_r$ が劣加法性、斉次性、および乗法的劣性を満たすことを示し、バナッハ代数ノルムとしての性質を確立する。
• BohrおよびRogosinskiの先行結果を用いて、$r \leq 1/3$ のとき $f \prec h$ ならば $\mathcal{M}_r(f) \leq \mathcal{M}_r(h)$ が成り立つことを証明し、主要化および係数推定を用いる。
• $k$-次部分和 $s_k(f)$ に対して、Rogosinskiの定理およびSchwarz関数の性質を応用し、$r \leq 1/2$ に対して $|s_k(f)| \leq \mathcal{M}_r(s_k(h))$ および $r \leq 1/3$ に対して $\mathcal{M}_r(s_k(f)) \leq \mathcal{M}_r(s_k(h))$ を導出する。
• 主要化および $\ell^1$-ノルムの制御を用いて、任意のSchwarz関数 $\varphi$ と $r \leq 1/3$ に対して $\mathcal{M}_r(h(\varphi)) \leq \|h\|_\infty$ となるvon Neumann型不等式を導出する。
• 証明は、$f(z) = h(\varphi(z))$ の劣分数関係と、単位円板内での $\varphi$ の有界性、および $\mathcal{M}_r(\varphi^n)$ の推定を組み合わせることに依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $f$ が $h$ に劣分数関係にあるとき、$\mathcal{M}_r(f) \leq \mathcal{M}_r(h)$ が成り立つ条件は何か？
• RQ2 部分和 $s_k(f)$ に対して、$\mathcal{M}_r(s_k(f)) \leq \mathcal{M}_r(s_k(h))$ が成り立つ最適な半径 $r$ は何か？
• RQ3 Schwarz関数との合成に適用したBohr作用素 $\mathcal{M}_r$ に対して、von Neumann型不等式を確立できるか？
• RQ4 劣分数関係の下で、$|s_k(f)|$ および $\mathcal{M}_r(s_k(f))$ の評価と $\mathcal{M}_r(s_k(h))$ の評価はどのように比較できるか？
• RQ5 $f$ が $h$ に準劣分数関係にあるとき、主要化結果の鋭い半径は何か？

主な発見

• $f \prec h$ ならば、すべての $r \leq 1/3$ に対して $\mathcal{M}_r(f) \leq \mathcal{M}_r(h)$ が成り立ち、等号成立は $f$ と $h$ が定数倍である場合に限る。
• $k$-次部分和 $s_k(f)$ に対して、$r \leq 1/2$ のとき $|s_k(f)| \leq \mathcal{M}_r(s_k(h))$ が成り立ち、Rogosinskiの半径が部分和の主要化に拡張される。
• $\mathcal{M}_r(s_k(f)) \leq \mathcal{M}_r(s_k(h))$ は $r \leq 1/3$ に対して成り立ち、係数ノルムの主要化におけるBohr半径が鋭い閾値であることを確認する。
• von Neumann型不等式が成り立つ：任意のSchwarz関数 $\varphi$ と $r \leq 1/3$ に対して $\mathcal{M}_r(h(\varphi)) \leq \|h\|_\infty$ が成り立ち、作用素ノルムと関数空間を結びつける。
• 単値的関数 $h$ に対して、$r \leq 1/2$ では $|s_k(f)| \leq |b_0| + \frac{k(k+1)}{2}|b_1|$ および $r \leq 1/3$ では $\mathcal{M}_r(s_k(f)) \leq |b_0| + \frac{k(k+1)}{2}|b_1|$ が成り立つことが示され、de Brangesの係数定理を用いる。
• 結果は鋭い：半径 $1/3$ および $1/2$ は、BohrおよびRogosinskiの古典的極値例によって、改善できないことが示されている。