[論文レビュー] Boolean Representations of Matroids and Lattices

Zur Izhakian, John Rhodes|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2011

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 16被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、有限ラティスのための新しいブール行列表現を導入し、関連するフラット格子を用いることで、任意のマトロイドがブール表現可能であることを示している。この手法は、計算的にアクセス可能な構成的枠組みを提供し、マトロイド幾何学とブール代数を結びつけるものであり、表現サイズの tighter な上限をもたらし、トロピカルおよびイデムポテンス半体への拡張も可能である。

ABSTRACT

We introduce a new representation concept for lattices by boolean matrices, and utilize it to prove that any matroid is boolean representable. We show that such a representation can be easily extracted from a representation of the associated lattice of flats of the matroid, leading also to a tighter bound on the representation's size. Consequently, we obtain a linkage of boolean representations with geometry in a very natural way.

研究の動機と目的

• 有限ラティスのためのブール行列を用いた新しい表現枠組みの開発。
• マトロイド幾何学とブール代数との間の構成的関係を、フラット格子を通じて確立すること。
• マトロイドのブール表現サイズに対するよりタイトな上界の提供。
• 結果をトロピカルおよびイデムポテンス半体に一般化し、より広範な表現可能性を示すこと。

提案手法

• ラティスの高さと整合性を持つように、ブール行列表現を用いて c-独立性および c-ランクを定義する。
• マトロイドのフラット格子の表現を、そのラティスの原子に制限することで、マトロイドのブール表現を構成する。
• トロピカル半体へのブール半体の自然な埋め込みを用いて、トロピカルに表現可能なマトロイドへの結果の拡張を行う。
• c-従属を特徴付けるために、上界生成集合およびその分割の概念を用いる。
• スーパーブール半体上のグラスマン＝プラüッカー写像を、ブール独立性の基礎として用いる。
• マトロイドのランクまでの二項係数の和を用いて、表現サイズの上界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のマトロイドはブール行列を用いて表現可能であるか。もしそうならば、そのような表現を体系的にどのように構成できるか？
• RQ2 ラティスのブール表現の c-ランクは、その幾何的高さおよびチェーン構造とどのように関係するか？
• RQ3 与えられたマトロイドのブール表現サイズに対する、最もタイトな上界は何か？
• RQ4 ブール表現は、トロピカルやイデムポテンス半体のような他の代数的構造へどの程度一般化可能か？
• RQ5 ラティスにおける c-独立性および c-ランクの概念は、既知の組合せ論的および幾何的性質とどのように対応するか？

主な発見

• マトロイドのフラット格子の構成により、ブール行列表現を構築することで、すべてのマトロイドがブール表現可能であることが証明された。
• ラティスのブール表現の c-ランクは、そのラティスの高さに等しく、強い構造的対応関係が確立された。
• マトロイドの表現サイズは、二項係数の和 ∑ᵢ₌₀ᵏ (ⁿᵢ) によって上から抑えられ、ここで n は基底集合のサイズ、k はランクである。
• ブール表現はフラット格子から直接抽出可能であり、体系的かつ幾何的に自然な構成法を提供する。
• すべてのマトロイドはトロピカルに表現可能であり、より一般には、任意のイデムポテンス半体でも表現可能である。これは、ブール半体をそれらの構造へ埋め込むことによって得られる。
• 本手法により、特に strict join irreducibles を考慮した場合、従来のアプローチよりもタイトな表現サイズの上界が得られた。