[論文レビュー] Bootstrapping six-gluon scattering in planar ${\cal N}=4$ super-Yang-Mills theory

Lance J. Dixon, J. M. Drummond+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 37被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、双対共形対称性、OPEによる近接コリネアーリミット、およびマルチレッジ因子化を活用することで、高次のループにおいて平面型 ${\cal N}=4$ 超ヤン・ミルズ理論における六グルーオン散乱振幅をブートストラップ法で計算する手法を提示する。この手法により、MHV系においては四ループまで、NMHV系においては三ループまで、ヘキサゴン関数と境界データを用いて有限余剰関数を一意に特定することができ、特殊な運動学的点における多重ゼータ値を含む正確な結果が得られる。

ABSTRACT

We describe the hexagon function bootstrap for solving for six-gluon scattering amplitudes in the large $N_c$ limit of ${\cal N}=4$ super-Yang-Mills theory. In this method, an ansatz for the finite part of these amplitudes is constrained at the level of amplitudes, not integrands, using boundary information. In the near-collinear limit, the dual picture of the amplitudes as Wilson loops leads to an operator product expansion which has been solved using integrability by Basso, Sever and Vieira. Factorization of the amplitudes in the multi-Regge limit provides additional boundary data. This bootstrap has been applied successfully through four loops for the maximally helicity violating (MHV) configuration of gluon helicities, and through three loops for the non-MHV case.

研究の動機と目的

• 統合振幅のレベルで、ループ積分の代わりに作用するブートストラッププログラムを、平面型 ${\cal N}=4$ 超ヤン・ミルズ理論における六グルーオン散乱振幅に開発すること。
• 双対（超）共形不変性およびウィルソン線積分と振幅の双対性を活用して、余剰関数の解析的構造を制約すること。
• 可積分性を用いて正確に解かれたOPEによる近接コリネアーリミットの境界データと、因子化を用いたマルチレッジリミットの情報を組み合わせ、高次のループにおいて解を一意に特定すること。
• ヘキサゴン関数に基づく関数的アンサンブルを用いて、MHVおよび非MHV（NMHV）ヘリシティ配置へブートストラップを拡張すること。
• 特殊な運動学的点、例えば $u=v=w=1$ における余剰関数の正確な値を計算し、非可約多重ゼータ値を同定すること。

提案手法

• サイクロトミック多対数関数から構成され、双対共形不変性を満たすヘキサゴン関数を用いて、振幅の有限部分のアンサンブルを構築する。
• 可積分性を用いて正確に解かれたOPEを近接コリネアーリミットに適用し、振幅の境界データを抽出する。
• マルチレッジリミットにおける対数的因子化を用いて、低次のループ情報の再利用を行い、高次のループ振幅を制約する。
• スーパーウィルソン線積分対応関係から得られる制約を課し、ループ次数を跨ぐ振幅を関連付ける一次微分方程式を導入する。
• 赤外有限性、双対共形不変性、およびコリネアーリミットとレッジリミットにおける既知の振る舞いを満たすことで、解を固定する。
• 余剰関数が3つの双対共形交叉比 $u$, $v$, $w$ のみに依存することを活用し、境界行動が既知の3次元空間上の関数に問題を還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面型 ${\cal N}=4$ 超ヤン・ミルズ理論における六グルーオン散乱振幅は、ループ積分の評価を経ずに、解析的構造と境界データから直接計算可能か？
• RQ2 近接コリネアーリミットおよびマルチレッジリミットからの境界制約のみを用いて、MHVおよびNMHV余剰関数をどのループ次数まで一意に特定できるか？
• RQ3 特殊点 $(u,v,w) = (1,1,1)$ における余剰関数の構造は何か？ また、各ループ次数でどの多重ゼータ値が現れるか？
• RQ4 線 $u=v=w$ 沿いに沿って、ループ次数に依存する余剰関数の形状はどのように比較できるか？
• RQ5 このブートストラップ手法は、他のヘリシティ配置や外部粒子数の増加に対しても一般化可能か？

主な発見

• ヘキサゴン関数と境界データを用いたブートストラップ法により、六グルーオンMHV余剰関数は四ループまで一意に特定され、$u=v=w=1$ において正確な結果が得られる。
• 四ループにおいて、重み8で初めて現れる非可約多重ゼータ値 $\zeta_{5,3}$ が余剰関数に含まれる。
• 二ループにおける $(1,1,1)$ での余剰関数の値は $-\frac{5}{2}\zeta_4$、三ループでは $\frac{413}{24}\zeta_6 + (\zeta_3)^2$、四ループでは $-\frac{3}{2}\zeta_2(\zeta_3)^2$ および $-\frac{471}{4}\zeta_8$ のような項が含まれる。
• 線 $u=v=w$ 沿いに沿って、二、三、四ループおよび強い結合定数領域における余剰関数の形状は、解析的形が異なっていても顕著に類似している。
• 三ループにおけるNMHV比関数の成分 $V^{(3)}$ と $\tilde{V}^{(3)}$ はコリネアーリミットで消えるが、$V^{(3)}$ は置換の線形結合のため、エッジ上では消えない。
• ブートストラップ法により、$(u,v,w)$ 空間の正のオクタント全体で余剰関数が正確に計算可能であり、$u=v=w$ 線に沿って弱結合と強い結合の結果が良好に一致する。