[論文レビュー] Borel invariant for Zimmer cocycles of 3-manifold groups

Alessio Savini|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2019

Advanced Operator Algebra Research参考文献 22被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、従来PSL(2,C)における非一様格子の表現に対して定義されていた古典的Borel不変量を、PSL(n,C)へ拡張し、確率空間上で作用するZimmerの可測コサイクルへ応用する。一般化されたBorel不変量が体積関連定数によって有界であることを証明し、最大性がπₙ∘iまたはその複素共役へのコhomologous同値性を意味することを示し、コサイクル設定における剛性結果を確立する。

ABSTRACT

Let $\Gamma$ be a non-uniform lattice of $ ext{PSL}(2,\mathbb{C})$. Given any representation $ ho:\Gamma ightarrow ext{PSL}(n,\mathbb{C})$ we can define a numerical invariant $\beta_n( ho)$, called Borel invariant, which remains constant along the $ ext{PSL}(n,\mathbb{C})$-conjugancy class of $ ho$. Additionally this invariant is rigid in the following sense: it holds $|\beta_n( ho)|\leq {{n+1}\choose{3}} ext{Vol}(\Gamma \backslash \mathbb{H}^3)$ for every representation $ ho:\Gamma ightarrow ext{PSL}(n,\mathbb{C})$ and equality is attained if and only if the representation $ ho$ is conjugated either to $\pi_n \circ i$ or to $\overline{\pi_n \circ i}$, where $i:\Gamma ightarrow ext{PSL}(2,\mathbb{C})$ is the standard lattice embedding and $\pi_n: ext{PSL}(2,\mathbb{C}) ightarrow ext{PSL}(n,\mathbb{C})$ is the irreducible representation. We extend the notion of Borel invariant to the more general setting of Zimmer's theory of cocycles. More precisely, let $(X,\mu_X)$ be a probability space on which $\Gamma$ acts in a measure-preserving way. Let $\sigma: \Gamma imes X ightarrow ext{PSL}(n,\mathbb{C})$ be a measurable cocycle and assume that $\phi: \mathbb{P}^1(\mathbb{C}) imes X ightarrow \mathscr{F}(n,\mathbb{C})$ is a measurable $\sigma$-equivariant map, that means $\phi(\gamma \xi, \gamma x)=\sigma(\gamma,x) \phi(\xi,x)$ for every $\gamma \in \Gamma$ and almost every $(\xi,x) \in \mathbb{P}^1(\mathbb{C}) imes X$. We define the notion of Borel invariant $\beta_n(\sigma)$ associated to the cocycle $\sigma$ and we prove that it holds the same bound which is valid in the classic case. Additionally we show that if the invariant is maximal then the cocycle must be cohomologous either to the one associated to the irreducible representation $\pi_n$ or to its complex conjugated.

研究の動機と目的

• Zimmer理論の枠組みにおいて、群表現から可測コサイクルへ古典的Borel不変量を一般化すること。
• 確率空間(X,μ_X)上で作用する可測コサイクルσ: Γ × X → PSL(n,C)に対してBorel不変量βₙ(σ)を定義すること。
• 商Γ\H³の双曲体積を用いてβₙ(σ)の均一な上界を確立すること。
• βₙ(σ)の最大性を特徴づけ、それがπₙ∘iまたはその複素共役へのコhomologous同値性を意味することを示すこと。

提案手法

• F(n,C)（フラッグ多様体）への可測σ-等変写像φ: P¹(C) × X → F(n,C)を定義する。
• 等変性条件φ(γξ, γx) = σ(γ,x)φ(ξ,x)を用いて、境界からコサイクル構造へ幾何的データを押し上げる。
• P¹(C) × X 上での有界可測コサイクル類の積分によりBorel不変量βₙ(σ)を構成する。
• エルゴディック理論的技法を用いてコサイクルのコhomology類を解析し、標準表現πₙと関連付ける。
• 有界コhomologyにおけるBorel類の剛性を用いて、σの可能なコhomology型を制約する。
• 最大Borel不変量が、古典的ケースとの比較により、コサイクルがπₙ∘iまたはその複素共役とコhomologousであることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的に群表現に対して定義されたBorel不変量は、Zimmerの群作用の確率空間上での可測コサイクルへ拡張可能か？
• RQ2 3次元多様体Γ\H³の双曲体積を用いて、一般化されたBorel不変量βₙ(σ)の鋭い上界は何か？
• RQ3 Borel不変量βₙ(σ)が最大値に達する条件は何か？
• RQ4 βₙ(σ)の最大性は、コサイクルσがπₙ∘iまたはその複素共役とコhomologousであることに同値か？
• RQ5 写像φ: P¹(C) × X → F(n,C)の等変性は、コサイクルσの構造にどのような制約を課えるか？

主な発見

• 可測コサイクルσに対するBorel不変量βₙ(σ)は、不等式|βₙ(σ)| ≤ (n+1 choose 3) Vol(Γ\H³)を満たす。
• 不等式の等号が成立するのは、かつはそのときに限り、コサイクルσがπₙ∘iまたはその複素共役とコhomologousである場合である。
• 一般化されたBorel不変量βₙ(σ)は、コサイクルσのコhomologousな変形に対して不変である。
• βₙ(σ)の最大性は、コサイクルσが無限表現πₙ∘iまたはその複素共役とコhomologousであることを意味する。
• βₙ(σ)の構成は、境界作用と整合性を持つ可測σ-等変写像φ: P¹(C) × X → F(n,C)に依存している。
• 剛性結果により、最大Borel不変量を達成するコサイクルには強い構造的制約が課され、動的挙動と表現論が結びつけられる。