[論文レビュー] Borel* Sets in the Generalised Baire Space

Tapani Hyttinen, Vadim Kulikov|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2012

Advanced Topology and Set Theory参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、非可算な $κ$ に対して $κ^\u03ba$ の一般化されたバーレ空間における複雑性クラス Borel*$($\kappa$) を調査し、$Σ^1_1(\kappa)$、$Δ^1_1(\kappa)$、$Σ^1_1(\kappa)$ などの他の記述的集合論的クラスとの関係を確立する。$κ^+$ 長の $<\kappa$-サポートの反復による強制法を用いて、$Σ^1_1(\kappa)$ に対する $Σ^1_1(\kappa)$ の厳密包含の整合性を示し、Cohen 強制法と $M_{\kappa^+\kappa}$ の論理に基づく強制法を含む。その結果、一般化された拡張において $Σ^1_1(\kappa)$ に属するが $Σ^1_1(\kappa)$ に属さない $Σ^1_1(\kappa)$ が示された。

ABSTRACT

We start by giving a survey to the theory of Borel*(κ) sets in the generalized Baire space Baire(κ) = κ^κ. In particular we look at the relation of this complexity class to other complexity classes which we denote by Borel(κ), Δ^1_1(κ) and Σ^1_1(κ) and the connections between Borel*(κ)-sets and the infinitely deep language M_{κ^+κ}. In the end of the paper we prove the consistency of Borel*(κ) e Σ^1_1(κ).

研究の動機と目的

• 非可算な $\kappa$ に対して $\kappa^{<\kappa} = \kappa$ を満たす一般化されたバーレ空間 $\kappa^\kappa$ における記述的集合論の古典的バーレ空間への拡張。
• 意味的ゲームを用いて定義される複雑性クラス $\operatorname{Borel}^*(\kappa)$ を分析し、$M_{\kappa^+\kappa}$ に関連づけ、$\operatorname{Borel}(\kappa)$、$\Delta^1_1(\kappa)$、$\Sigma^1_1(\kappa)$ と比較する。
• 一階理論 $T$ の同型関係 $\operatorname{ISO}(T, \kappa)$ の記述的複雑性を非可算な文脈で調査する。
• 強制法を用いて $\operatorname{Borel}^*(\kappa) \subsetneq \Sigma^1_1(\kappa)$ の整合性を確立し、[FHK11] における未解決問題を解決する。

提案手法

• Cohen 強制法 $\mathbb{C}$ と $M_{\kappa^+\kappa}$-定義可能な集合のための強制法 $\mathbb{R}(\dot{t}, \dot{h})$ を交互に含む、$\kappa^+$ 長の $<\kappa$-サポート反復 $\mathbb{P}_{\kappa^+}$ を構成する。
• 意味的ゲーム $B^*((x,y),(t,h))$ を用いて $\operatorname{Borel}^*(\kappa)$ の集合を定義し、プレイヤー II が勝つ戦略を持つときかつそのときに限り $(x,y) \in B(t,h)$ となる。これは Blackwell のゲームによる Borel 集合の特徴づけを一般化する。
• 反復の $\kappa^+$-c.c. 性質と $<\kappa$-閉性を用いて、戦略が保存され、一般化された拡張で新しい勝ち戦略が追加されないことを保証する。
• 一般化された拡張 $V[G]$ において、同型関係 $\operatorname{ISO}(\operatorname{DLO}, \kappa)$ が $\operatorname{Borel}^*(\kappa)$ に属さないことを示す。これは、その関係を正確に捉える $\operatorname{Borel}^*$-コードが存在しないことにより証明される。
• 一般化モデルにおいて $\Delta^1_1(\kappa) \subsetneq \operatorname{Borel}^*(\kappa)$ を確立する。$\Delta^1_1(\kappa)$ の集合は拡張でベールの性質を持つことを示し、これはすべての $\operatorname{Borel}^*$-定義可能でないことを示唆する。
• 反復強制法を用いて、$\operatorname{ISO}(\operatorname{DLO}, \kappa)$ が $\Sigma^1_1(\kappa)$ に属するが $\operatorname{Borel}^*(\kappa)$ に属さないことを示し、厳密包含を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたバーレ空間 $\kappa^\kappa$ において、$\operatorname{Borel}^*(\kappa)$ は $\Sigma^1_1(\kappa)$ よりも真に小さいか？
• RQ2 一般化された拡張において、同型関係 $\operatorname{ISO}(\operatorname{DLO}, \kappa)$ は $\operatorname{Borel}^*(\kappa)$-コードによって正しく表現可能か？
• RQ3 一般化された設定において、$\operatorname{Borel}^*(\kappa)$、$\Delta^1_1(\kappa)$、$\Sigma^1_1(\kappa)$ の関係は何か？
• RQ4 $B^*$-ゲームによる $\operatorname{Borel}^*(\kappa)$ のゲーム的特徴づけは、強制拡張においても安定的か？
• RQ5 強制法を用いて、非可算な文脈において $\operatorname{Borel}^*(\kappa)$ と $\Sigma^1_1(\kappa)$ を分離できるか？

主な発見

• この論文は、Cohen 強制法と $M_{\kappa^+\kappa}$-定義可能な集合のための強制法を含む $\kappa^+$ 長の $<\kappa$-サポート反復による強制法を用いて、$\operatorname{Borel}^*(\kappa) \subsetneq \Sigma^1_1(\kappa)$ の整合性を証明した。
• この反復によって得られる一般化された拡張 $V[G]$ において、同型関係 $\operatorname{ISO}(\operatorname{DLO}, \kappa)$ は $\operatorname{Borel}^*(\kappa)$ に属さない。これは、その関係を正確に表現できる $\operatorname{Borel}^*$-コードが存在しないことによる。
• このモデルは $\Delta^1_1(\kappa) \subsetneq \operatorname{Borel}^*(\kappa)$ を満たす。$\Delta^1_1(\kappa)$ の集合は拡張でベールの性質を持つため、すべての $\operatorname{Borel}^*$-定義可能ではないことが示唆される。
• 強制反復は $\kappa^+$-c.c. 性質と $<\kappa$-閉性を保持するため、$B^*$-ゲームの新しい勝ち戦略が追加されない。これは議論において極めて重要である。
• この結果により、$\operatorname{ISO}(\operatorname{DLO}, \kappa)$ が一般化モデルにおいて $\Sigma^1_1(\kappa)$ に属するが $\operatorname{Borel}^*(\kappa)$ に属さないことが確認され、厳密な階層が確立された。
• この構成により、[FHK11] における未解決問題が解決され、非可算な $\kappa$ に対して $\kappa^{<\kappa} = \kappa$ を満たす場合に $\Delta^1_1(\kappa) \subsetneq \operatorname{Borel}^*(\kappa) \subsetneq \Sigma^1_1(\kappa)$ の整合性が示された。