[論文レビュー] Bose particles in a box I. A convergent expansion of the ground state of a three-modes Bogoliubov Hamiltonian

Alessandro Pizzo|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2015

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 28被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、ボーズ粒子が箱の中にある三モードボゴリューボフハミルトニアンの基底状態を構成するため、粒子状態の占有数に基づく新しいマルチスケールフェシュバッハ・シュール写像技術を導入する。小規模な運動エネルギー対ポテンシャルエネルギー比および平均場極限において、粒子数 $N\to\infty$ のとき、任意の所望の精度まで有効な、裸の演算子による収束する基底状態の展開を提供する。次元 $d \geq 1$ において厳密に制御され、$d \geq 3$ では有限だが大きな箱へと拡張される。この手法により、固定粒子数および熱力学的領域における多体基底状態に対する体系的かつ非摂動的な制御が可能となる。

ABSTRACT

In this paper we introduce a novel multi-scale technique to study many-body quantum systems where the total number of particles is kept fixed. The method is based on Feshbach map and the scales are represented by occupation numbers of particle states. Here, we consider a three-modes (including the zero mode) Bogoliubov Hamiltonian for a sufficiently small ratio between the kinetic energy and the Fourier component of the (positive type) potential corresponding to the two nonzero modes. For any space dimension d\geq 1 and in the mean field limiting regime (i.e., at fixed box volume |Λ| and for a number of particles, N, sufficiently large) this method provides the construction of the ground state and its expansion in terms of the bare operators that in the limit N o \infty is up to any desired precision. In space dimension d \geq 3 the method provides similar results for an arbitrarily large (finite) box and a large but fixed particle density ρ, i.e.,ρis independent of the size of the box.

研究の動機と目的

• 固定粒子数における多体ボーズ系の基底状態を構成する非摂動的・マルチスケール的手法の開発。
• 粒子数 $N \to \infty$ の平均場極限において、裸の演算子による基底状態の厳密な展開を解決する挑戦に応えること。
• 標準的なボゴリューボフ近似を超えて、占有数スケールに基づくフェシュバッハ・シュール写像を組み込むことにより、分析を拡張すること。
• 三モードモデルに対する基底状態ベクトルの数学的に厳密な構成を提供し、全多体系の構築の出発点とすること。
• 次元 $d \geq 3$ における有限および大きな箱の両領域で、赤外発散を制御し、展開の収束を保証すること。

提案手法

• フェシュバッハ・シュール写像を用いて、粒子状態の占有数に基づき、低占有数および高占有数の領域にハミルトニアンを分離する。
• スケールは三モード（ゼロモードを含む）の占有数によって定義され、ハミルトニアンの階層的・マルチスケール的解析が可能になる。
• フェシュバッハ・シュールフローは反復的に実装され、各ステップで固定全粒子数の部分空間への射影が行われ、残余相互作用は収縮推定により制御される。
• 各スケールにおける有効ハミルトニアンを解くことにより、裸の生成・消滅演算子の収束的級数展開を用いて基底状態を再帰的に構成する。
• 主要な推定は、リゾルベント $R^{\text{Bog}}$ および自己エネルギー演算子 $\Gamma^{\text{Bog}}$ の境界に依存し、$0 < \beta < 1$ のとき $N^{1-\beta}$ における指数的減衰によって収束が制御される。
• この手法により、完全な展開と切り詰めた展開との差が $\mathcal{O}\left(\frac{1}{\sqrt{\epsilon_{\mathbb{j}_*}}} \left(\frac{1}{1 + c\sqrt{\epsilon_{\mathbb{j}_*}}}\right)^{N^{1-\beta}}\right)$ で有界であることが保証され、$N \to \infty$ のとき急速に減少する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定粒子数の下で、平均場極限における三モードボゴリューボフハミルトニアンの基底状態に収束的展開を構成することは可能か？
• RQ2 フェシュバッハ・シュール写像は、運動量スケールではなく占有数スケールに基づくマルチスケールフレームワークにどのように適合できるか？
• RQ3 運動エネルギー対ポテンシャルエネルギー比にどのような条件を課すと、$N \to \infty$ の極限において基底状態展開の収束が保証されるか？
• RQ4 次元 $d \geq 3$ において、有限だが大きな箱に拡張しても、固定粒子密度の下で基底状態を制御できるか？
• RQ5 切り詰めた展開が真の基底状態ベクトルにどれほど速く収束するか、定量的な収束速度は何か？

主な発見

• 三モードボゴリューボフハミルトニアンの基底状態は、裸の演算子による収束的展開をもたらすフェシュバッハ・シュールフローによって構成され、$N \to \infty$ のとき任意の所望の精度まで有効である。
• この手法により、誤差境界 $\mathcal{O}\left(\frac{1}{\sqrt{\epsilon_{\mathbb{j}_*}}} \left(\frac{1}{1 + c\sqrt{\epsilon_{\mathbb{j}_*}}}\right)^{N^{1-\beta}}\right)$ を有する展開の収束が保証され、$0 < \beta < 1$ のとき $N^{1-\beta}$ に指数的に依存して減少する。
• 次元 $d \geq 3$ において、固定粒子密度 $\rho$ の下で、任意に大きな（有限の）箱に適用可能であり、平均場極限を超えて広い熱力学的領域に拡張される。
• 非ゼロの二つのモードにおけるポテンシャルの正の型のフーリエ成分と運動エネルギーとの比が十分に小さい場合に有効である。
• 本手法は、[Pi2] で概説されたように、三モード部分系に繰り返し適用することで、全多体系の基底状態を体系的に非摂動的に構築するフレームワークを提供する。
• 解析により、ハミルトニアンのスペクトル的性質が厳密に制御され、赤外発散が存在する状況でも、演算子ノルムにおける級数展開の収束が保証される。