[論文レビュー] Boundary amenability and measure equivalence rigidity among two-dimensional Artin groups of hyperbolic type

Camille Horbez, Jingyin Huang|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2020

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ひとこと要約

本稿は、双曲型の2次元アーティン群について、境界アメニタリティおよび測度同値性に関する剛性を確立し、ノヴィコフ予想を満たし、測度同値において強く剛性を持つことを証明する。CAT(−1)複体上の作用と固定集合グラフを用いて、測度同値な群はケイリーコンプレックスの自己同型群の格子と可換であることを示し、定義グラフが三角形を含まず、ラベルが3以上であれば、強い剛性が成り立つ。

ABSTRACT

We study $2$-dimensional Artin groups of hyperbolic type from the viewpoint of measure equivalence, and establish rigidity theorems. We first prove that they are boundary amenable. So is every group acting discretely by simplicial isometries on a connected piecewise hyperbolic $\mathrm{CAT}(-1)$ simplicial complex with countably many simplices in finitely many isometry types, assuming that vertex stabilizers are boundary amenable. Consequently, they satisfy the Novikov conjecture. We then show that measure equivalent $2$-dimensional Artin groups of hyperbolic type have isomorphic fixed set graphs -- an analogue of the curve graph, introduced by Crisp. This yields classification results. We obtain strong rigidity theorems. Let $G=G_Γ$ be a $2$-dimensional Artin group of hyperbolic type, with $\mathrm{Out}(G)$ finite. When the automorphism groups of the fixed set graph and of the Cayley complex $\mathfrak{C}$ coincide, every countable group $H$ which is measure equivalent to $G$, is commensurable to a lattice in $\mathrm{Aut}(\mathfrak{C})$. This happens whenever $Γ$ is triangle-free with all labels at least $3$ -- unless $G$ is commensurable to the direct sum of $\mathbb{Z}$ and a free group. When $Γ$ satisfies an additional star-rigidity condition, then $\mathrm{Aut}(\mathfrak{C})$ is countable, and $H$ is almost isomorphic to $G$. This has applications to orbit equivalence rigidity, and rigidity results for von Neumann algebras associated to ergodic actions of Artin groups. We also derive a rigidity statement regarding possible lattice envelopes of certain Artin groups, and a cocycle superrigidity theorem from higher-rank lattices to $2$-dimensional Artin groups of hyperbolic type.

研究の動機と目的

• 2次元の双曲型アーティン群およびその一般化が、可算かつ部分的に双曲的で、単体の等長型が有限個のタイプにしか持たないCAT(−1)単体複体に離散的に作用する群の境界アメニタリティを確立すること。
• これらの群に対して測度同値性に関する剛性定理を証明し、測度同値な群がケイリーコンプレックスの自己同型群の格子と可換であることを示すこと。
• スターリジッド性または三角形を含まないグラフの条件を追加することで、強い剛性結果を導出し、測度同値な群がほぼ同型であることを示すこと。
• 結果を軌道同値性の剛性および、エルゴディック作用に関連するフォン・ノイマン代数のW*-剛性に応用すること。
• 高ランク格子から2次元の双曲型アーティン群へのコサイクルの超剛性定理を確立し、すべてのコサイクルが自明なものとコhomologousであることを示すこと。

提案手法

• 可算かつ部分的に双曲的で、単体の等長型が有限個のタイプにしか持たないCAT(−1)単体複体に離散的に作用する群の境界アメニタリティに関する一般的基準を証明すること。
• 頂点安定化部分群が境界アメニタリティを持つならば、群自体が境界アメニタリティを持つこと、および辺安定化部分群がアメニタリティを持つならば、視界境界への作用がボレルアメニタリティを持つことを示すこと。
• アーティン群のための曲線グラフに類似した対象として、固定集合グラフ ΘΓ を導入すること。
• 放物的部分群に関して固定集合グラフの幾何的剛性を用いて、Guelman-Hurtado-Lyndon の結果を応用し、測度同値性の剛性を導出すること。
• 高ランク格子のためのコサイクル剛性理論を適用し、このような格子からアーティン群へのすべてのコサイクルが自明なものとコホモロジックに同値であることを示すこと。
• 固定集合グラフにおける頂点安定化部分群が F×Z（F は自由群）にほぼ同型であることに着目し、自由群および Z に対する既知のコサイクル剛性を用いて、結果を積に拡張すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元の双曲型アーティン群が境界アメニタリティを持つのはどのような条件下か？
• RQ2 2次元の双曲型アーティン群が測度同値であるとき、ケイリーコンプレックスの自己同型群の格子と可換であるのはどのような条件下か？
• RQ3 定義グラフにどのような条件を課すと、測度同値な群がほぼ同型であるか？
• RQ4 固定集合グラフの構造は、アーティン群における測度同値性および剛性とどのように関係するか？
• RQ5 高ランク格子から2次元の双曲型アーティン群へのコサイクル剛性定理を確立できるか？

主な発見

• すべての2次元の双曲型アーティン群は境界アメニタリティを持つため、高次シグニチャに関するノヴィコフ予想を満たす。
• 定義グラフが三角形を含まず、すべてのラベルが3以上であり、Out(G) が有限のとき、G と測度同値なすべての群は、Aut(𝒞)（ケイリーコンプレックスの自己同型群）の格子と可換である。
• 定義グラフがスターリジッド性条件を満たし、Aut(𝒞) が可算であるとき、すべての測度同値群 H は G とほぼ同型である。
• 固定集合グラフ ΘΓ は曲線グラフに類似しており、GΓ はそれに対して幾何的に剛性を持つため、コサイクル剛性の道具立てを用いることができる。
• 高ランク格子または代数群から2次元の双曲型アーティン群へのすべてのコサイクルは、自明なコサイクルとコホモロジックに同値である。
• これらの結果は、これらのアーティン群のエルゴディック作用に関連するフォン・ノイマン代数の強いW*-剛性を示し、局所コンパクトで第二可算な群における格子包の分類を提供する。