[論文レビュー] Parabolic subgroups of Artin groups of FC type

Rose Morris-Wright|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、有限型アーティン群におけるパラボリック部分群の結果をFC型アーティン群へ拡張し、二つの有限型パラボリック部分群の共通部分が再び有限型パラボリック部分群であることを証明する。FC型アーティン群に対してパラボリック部分群の複体を構成し、やや弱い条件下でその直径が無限大であることを示し、δ-双曲的であると予想することで、アーティン群における階層的双曲構造の道筋を示す。

ABSTRACT

Parabolic subgroups are the building blocks of Artin groups. This paper extends previous results, known only for parabolic subgroups of finite type Artin groups, to parabolic subgroups of FC type Artin groups. We show that the class of finite type parabolic subgroups is closed under intersection. We also study an analog of the curve complex for mapping class group constructed using parabolic subgroups. We extend the construction of the complex of parabolic subgroups to FC type Artin groups. We show that this simplicial complex is, in most cases, infinite diameter and conjecture that it is $δ-$hyperbolic.

研究の動機と目的

• 有限型アーティン群におけるパラボリック部分群の既知の結果を、より広いクラスのFC型アーティン群へ一般化すること。
• FC型アーティン群における二つの有限型パラボリック部分群の共通部分が、再び有限型パラボリック部分群であることを証明すること。
• パラボリック部分群の複体の構成をFC型アーティン群へ拡張し、その連結性と無限大直径を確立すること。
• パラボリック部分群の複体がδ-双曲的であると予想し、アーティン群における階層的双曲構造を可能にする。

提案手法

• FC型アーティン群においてCAT(0)であるデリーニュ複体に基づく幾何的技法を用い、パラボリック部分群の構造を分析する。
• アーティン群の元がデリーニュ複体上で作用することにより、測地線軸に沿った超平面の交差を研究する。
• ロキドローミック元の軸から測地線多角形を構成し、超平面の交差を比較することで、正規化部分群に関する仮定に矛盾を導く。
• 技術的補題（補題4.2）を用いて、パラボリック部分群の複体における頂点の隣接条件を定義する。
• パラボリック部分群がその正規化部分群によって固定され、非自明な元によって固定される超平面は群作用によって保存されることを用いる。
• CAT(0)幾何を用いて、パラボリック部分群が固定する測地線線分を横切る超平面が多すぎると、ロキドローミック元の構成と矛盾が生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 FC型アーティン群において、有限型パラボリック部分群の族は共通部分に関して閉じているか？
• RQ2 FC型アーティン群に対してパラボリック部分群の複体を構成できるか。その位相的性質は何か？
• RQ3 定義グラフがジョインでない非可約FC型アーティン群において、パラボリック部分群の複体は無限大直径を持つか？
• RQ4 パラボリック部分群の複体はδ-双曲的であるか。もしそうであれば、階層的双曲構造を支えることができるか？

主な発見

• FC型アーティン群における任意の二つの有限型パラボリック部分群の共通部分は、再び有限型パラボリック部分群である。
• 非可約FC型アーティン群のパラボリック部分群の複体は、定義グラフΓが連結でかつ少なくとも3つの頂点を持つときかつそのときに限り連結である。
• 定義グラフがジョインでなく、少なくとも2つの頂点を持つ非可約FC型アーティン群では、パラボリック部分群の複体は無限大直径を持つ。
• 本稿は、正規化部分群の生成集合における語長がmより大きいg^nをもつロキドローミック元gを構成し、n_iがパラボリック部分群を正規化すると仮定することと矛盾する。
• 2k個の連続する超平面がパラボリック部分群が固定する測地線線分を横切る場合、それらは部分群によって固定されなければならないが、これはgの構成に反する。
• 著者らは、すべての非可約非巡回FC型アーティン群において、パラボリック部分群の複体がδ-双曲的であると予想しており、これにより階層的双曲構造が支えられるだろう。