[論文レビュー] Boundary concentration of a Gauged Nonlinear Schrodinger Equation

Alessio Pomponio, David Ruiz|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2013

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、大規模な2次元球体上でのディリクレ境界条件の下で、ゲージ化された非線形シュレーディンガー方程式にチェーン＝シモンズ項を含むものについて研究している。特異摂動およびリャプノフ＝シュミット還元を用いて、半径Rが無限大に近づく際、解が境界付近に集中する正の解の存在を証明しており、極限におけるプロファイルは原点からの距離~Rの位置に局在するソリトン解に漸近的に近づく。

ABSTRACT

This paper is motivated by a gauged Schrodinger equation in dimension 2 including the so-called Chern-Simons term. The radially symmetric case leads to an elliptic problem with a nonlocal defocusing term, in competition with a local focusing nonlinearity. In this work we pose the equations in a ball under homogeneous Dirichlet boundary conditions. By using singular perturbation arguments we prove existence of solutions for large values of the radius. Those solutions are located close to the boundary and the limit profile is given.

研究の動機と目的

• 大規模な球体上におけるゲージ化非線形シュレーディンガー方程式にチェーン＝シモンズ項を含む場合の正の解の存在を確立すること。
• 球体の半径Rが無限大に近づく際の解の漸近的挙動を分析すること。
• 同様に、均一なディリクレ境界条件の下で解が球体の境界付近に集中することを示すこと。
• 変分法および摂動論的手法を用いて、大Rにおける解の極限プロファイルを特徴付けること。

提案手法

• 非局所的な発散型および局所的な集束型非線形性を有する回転対称な楕円型方程式として問題を定式化する。
• 大Rにおける境界付近の解の構成のために特異摂動論を適用する。
• 解を局在的プロファイルと補正項に分解するためにリャプノフ＝シュミット還元を用いる。
• H^1_0,r(B(0,R))上でのエネルギー汎関数I_Rの切断版を用いて臨界点を分析する。
• シフトされたソリトン解U_ρと補正項w_ρの組み合わせである試行解z_ρ + w_ρを構成して解を近似する。
• 還元された汎関数Φ(ρ) = I_R(z_ρ + w_ρ)を分析し、大Rにおいてパrameter領域の内部で大域的最小値をとることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 R → ∞ のとき、大規模な球体上におけるゲージ化非線形シュレーディンガー方程式の正の解は境界付近に集中するか？
• RQ2 このような解の漸近的プロファイルは、大R極限においてどのように振る舞うか？
• RQ3 大R領域において摂動論的手法を用いて解の存在を厳密に確立できるか？
• RQ4 非局所的チェーン＝シモンズ項は、標準的NLS方程式と比較して、集中挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ5 大Rにおいて、解はエネルギー汎関数I_Rの局所的最小値か、それとも大域的最小値か？

主な発見

• 十分に大きなすべてのRに対して解が存在し、球体B(0,R)の境界付近に集中する。
• 解の極限プロファイルは、半径ρ ~ Rに局在するソリトン解U_ρ(r)に漸近的に等価である。
• R → ∞ のとき、エネルギーはΦ(ρ) = 2πJ(U)ρ + 2π√k₂ρ e^{-2√k₂(R−ρ)} + o(ρ e^{-2√k₂(R−ρ)})と振る舞う。
• 還元された汎関数Φ(ρ)は大Rにおいてパrameter領域の内部で大域的最小値をとることから、解の存在が確認される。
• 補正項w_ρがH^1ノルムにおいて無視可能であることが示され、近似z_ρ + w_ρの妥当性が裏付けられる。
• 解はエネルギー汎関数I_Rの局所的最小値に対応し、R → ∞ においてエネルギーが負に発散するため、大域的最小値である可能性が示唆される。