[論文レビュー] Boundary Conditions at Infinity for Physical Theories

Andrzej Trautman|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2016

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、スカラー場およびマクスウェル場の空間的無限遠における物理的境界条件を定式化し、ポテンシャルおよび場の漸近的挙動を指定することによって、一意で放射整合性のある解を保証する。この条件は、遅延解を選択し、エネルギーフラックスが非負であることを保証し、一般相対性理論を含む非線形理論へ自然に一般化可能である。

ABSTRACT

The Sommerfeld boundary conditions, imposed on hyperbolic differential equations to obtain solutions in the form of outgoing waves, are formulated here so as to make explicit the role of an appropriate null vector field. When applied to the scalar and Maxwell equations, they lead to the asymptotic form of the energy-momentum tensor representing radiation as a null, perfect dust.

研究の動機と目的

• 初期データを必要とせずに、場の運動方程式の解の一意性を保証する空間無限遠における境界条件を定義すること。
• ソルフェルドの放射条件（例：）を、場およびポテンシャルの漸近的挙動の観点から物理的に意味のある形で定式化すること。
• 線形場理論を超えて、一般相対性理論を含む非線形理論へ一般化可能な枠組みを用いて、これらの境界条件を一般化すること。
• 場のエネルギー運動量テンソルが無限遠で正しい物理的挙動を示すように保証すること、例えば放射エネルギーが非負であること。
• ゲージ不変性を保ちつつ、ポテンシャルの選択に依存しない電気力学の境界条件を定式化すること。

提案手法

• スカラー場 φ に境界条件を課す：φ = O(r⁻¹) および φ,ν = ψkν + O(r⁻²)，ここで ψ = O(r⁻¹)，kν = (1, nⁱ) は光的ベクトル場である。
• スカラー波動方程式の遅延解を用いて、漸近的表現を導出し、条件 (5) および (6) が遅延解によって満たされることを示す。
• 電磁ポテンシャル Aμ に対しても同様の条件を適用する：Aμ = O(r⁻¹)，Aρ,σ = Bρkσ + O(r⁻²)，および Bρkρ = O(r⁻²)，これによりゲージ不変な場の挙動が保証される。
• 電磁場 fμν の漸近的形を導出し、fμν ≈ kμBν - kνBμ かつ kρBρ ≈ 0 となることを示し、これは横方向で平面波に類似した放射場に対応する。
• エネルギー運動量テンソル Tμν を漸近的に計算し、Tμν ≈ -BρBρ kμkν / (4π) + O(r⁻³) となることを示し、これは非負のエネルギーフラックスを持つヌル流体に類似した挙動を示す。
• ガウスの法則を用いて、fᵏ⁰ に 1/r 項が存在しても、漸近的場構造のおかげで全電荷 e が有限に保たれることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間無限遠における境界条件をどのように定式化すれば、初期データを必要とせずに線形場方程式の遅延解を一意に選択できるか？
• RQ2 スカラー場および電磁場の無限遠における漸近的挙動の物理的意味は何か？また、放射およびエネルギー損失とどのように関係するか？
• RQ3 これらの境界条件を一般相対性理論を含む非線形場理論へどのように一般化できるか？
• RQ4 電気力学の無限遠における一貫性のある境界条件を定式化するにあたり、ゲージ不変性は果たす役割は何か？
• RQ5 エネルギー運動量テンソルおよび場強度の漸近的形は、放射エネルギーおよび電荷といった物理的観測量とどのように関係するか？

主な発見

• スカラー波動方程式の遅延解は、境界条件 φ = O(r⁻¹) および φ,ν = ψkν + O(r⁻²)，ψ = O(r⁻¹) を満たし、一意性が保証される。
• kν = (1, nⁱ) を用いた条件 (6) は、ソルフェルドの放射条件を意味する：lim_{r→∞} r(∂φ/∂t + ∂φ/∂r) = 0 であり、これは放射出力に対応する。
• スカラー場のエネルギー運動量テンソルは漸近的に 4πTμν = ψ²kμkν + O(r⁻³) の形を取り、非負のエネルギーフラックスを持つヌル流体に類似した挙動を示す。
• 電気力学においては、境界条件 Aμ = O(r⁻¹)，Aρ,σ = Bρkσ + O(r⁻²)，および Bρkρ = O(r⁻²) により、fμν ≈ kμBν - kνBμ かつ kρBρ ≈ 0 となる。これは横方向で平面波に類似した放射場を記述する。
• 漸近的エネルギー運動量テンソルは 4πTμν = -BρBρ kμkν + O(r⁻³) であり、BρBρ ≤ 0 であるため、放射エネルギーフラックス W₀ ≥ 0 となり、物理的整合性が保証される。
• fᵏ⁰ に 1/r 項が含まれても、漸近的場構造のおかげで全電荷 e = (1/4π) ∫ fᵏ⁰ nᵏ dS は有限に保たれる。