[論文レビュー] Boundary conditions at spatial infinity from a Hamiltonian point of view

Piotr T. Chruściel|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2013

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 47

ひとこと要約

本稿は、一般相対性理論のアフィン形式を用いて、4次元共変ハミルトニアン枠組みでADMエネルギー運動量を導出し、空間無限遠における境界条件を著しく弱めた場合でも、標準的なADM表現が有限かつwell-definedであることを示している。具体的には、$\alpha > 1/2$ の衰減率でミンコフスキー空間に漸近する計量に対して成立する。主な貢献は、最小限の仮定のもとでADMエネルギーの厳密な正当化を提供し、先行研究における曖昧さを解消するとともに、$\alpha > 1/2$ を満たす座標変換のもとで質量が不変であることを示している。本手法は3+1分解を回避し、完全に共変な設定におけるシンプレクティック幾何学と境界項解析に依拠している。

ABSTRACT

We show that the ADM mass and momentum are geometric invariants of asymptotically flat initial data sets

研究の動機と目的

• 標準的な3+1分解およびそれに伴う曖昧さを回避する幾何的でハミルトニアン的なADMエネルギー運動量の導出を目的とする。
• ADMエネルギーが有限かつwell-definedであるために必要な、空間無限遠における最も弱い境界条件を同定すること。
• ADM質量が $\alpha > 1/2$ を満たす $\alpha$-漸近平坦性を保つ座標変換のもとで不変であることを示すこと。
• 完全に共変でアフィン形式の重力理論を用いることで、先行研究におけるADMハミルトニアンの導出における不整合を解消すること。

提案手法

• 重力を $GL(4,\mathbb{R})$ 接続 $\Gamma_{\mu\nu}^{\lambda}$ で記述する一般相対性理論のアフィン形式を用い、完全に4次元的で共変な計算を可能にする。
• Kijowski-Tulczyjewハミルトニアン形式を適用し、スカラー場 $X$ とスカラー関数 $L$ を用いて、スカラー関数 $E(X,\Sigma) = \int_\Sigma (\pi_\alpha^{\gamma\mu\beta} \mathcal{L}_X \Gamma_{\beta\gamma}^\alpha - X^\mu L) \eta_\mu$ を用いて、スカラー超曲面 $\Sigma$ 上でのエネルギー関数を導出する。
• 作用の変分から生じる境界項を分析し、計量が $\alpha > 1/2$ の衰減率でミンコフスキー空間に漸近する場合、ADMエネルギーがwell-definedであることを示す。
• $\alpha$-漸近平坦計量の概念を導入し、$g_{ij} - \delta_{ij} = O(r^{-\alpha})$ と定義し、$\alpha > 1/2$ の場合にADM質量が有限かつ座標変換に対して不変であることを証明する。
• シンプレクティック幾何学を用いて、一般相対性理論の位相空間が適切な境界条件を満たす場の運動方程式の解の空間と同型であることを示し、ADM変数 $g_{ij}, P^{ij}$ に依存しない。
• Y. Choquet-BruhatおよびD. Christodoulouによる $H_{s,\delta}$ 空間における解の存在に関する結果を応用し、$\alpha > 1/2$ の場合に本枠組みが有効であることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミルトニアン枠組みにおいてADMエネルギーが有限かつwell-definedであるために必要な、空間無限遠における最小限の境界条件は何か？
• RQ2 ADMエネルギーが $\alpha > 1/2$ を満たす $\alpha$-漸近平坦性を保つ座標変換のもとでどのように不変性を保つのか？
• RQ3 3+1分解を一切用いずに、4次元的で共変な構造のみを用いてADMハミルトニアンを導出可能か？
• RQ4 重力のアフィン形式が、ADMエネルギーの導出を単純化し、先行研究における曖昧さを明確にする役割を果たすか？
• RQ5 衰減率が $O(r^{-\alpha})$ で $\alpha \leq 1/2$ の場合、ADM質量は有限かつwell-definedか？そうでない場合、その理由は何か？

主な発見

• ADMエネルギーは $\alpha$-漸近平坦計量で $\alpha > 1/2$ を満たす場合に有限かつwell-definedであり、この条件は最適である。$\alpha \leq 1/2$ の場合、質量は無限大または任意になり得る。
• ADM質量は $\alpha > 1/2$ を満たす $\alpha$-漸近平坦性を保つ座標変換のもとで不変であり、運動量の変換は直交行列 $\omega_{ij}$ によって支配される。
• 標準的なADMエネルギー表現は $\alpha > 1/2$ の衰減極限で回復され、位相空間のシンプレクティック構造と整合的であることが示された。
• 本稿は、$\alpha > 1/2$ を満たす座標系であれば、座標の選び方に依存せずADMエネルギーが不変であることを示し、先行研究における曖昧さを解消した。
• $1/2$-許容座標系における平坦計量に対して、ADM質量は座標変換の仕方によって任意の非負の値を取り得る。これにより、有限性のための最良の衰減率が $\alpha > 1/2$ であることが証明された。
• 本枠組みは $\alpha > 1/2$ の場合にWitten型の議論により質量の正値性を支持しており、O. Reulaによるこのクラスの計量におけるWitten方程式の解の存在に関する結果と整合的である。