[論文レビュー] Boundary depth in Floer theory and its applications to Hamiltonian dynamics and coisotropic submanifolds

Michael Usher|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 33被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、ハミルトニアンフローエリアホモロジーにおける境界のフィルトレーション行動を測定する新しいフローエリア的不変量である境界深さを導入する。非退化なハミルトニアンで境界深さが正であるものは、無限個の幾何的に異なる周期的点を持つことを証明し、特に接触型またはステイン多様体における安定なコイゾトロピック部分多様体が正の不動点エネルギーを持つことを確立しており、これにより既知のそのような部分多様体のクラスが顕著に拡張されている。

ABSTRACT

We assign to each nondegenerate Hamiltonian on a closed symplectic manifold a Floer-theoretic quantity called its "boundary depth," and establish basic results about how the boundary depths of different Hamiltonians are related. As applications, we prove that certain Hamiltonian symplectomorphisms supported in displaceable subsets have infinitely many nontrivial geometrically distinct periodic points, and we also significantly expand the class of coisotropic submanifolds which are known to have positive displacement energy. For instance, any coisotropic submanifold of contact type (in the sense of Bolle) in any closed symplectic manifold has positive displacement energy, as does any stable coisotropic submanifold of a Stein manifold. We also show that any stable coisotropic submanifold admits a Riemannian metric that makes its characteristic foliation totally geodesic, and that this latter, weaker, condition is enough to imply positive displacement energy under certain topological hypotheses.

研究の動機と目的

• ハミルトニアンフローエリアホモロジーにおける境界のフィルトレーション性質を捉える新しい不変量である境界深さ β(H) を定義し、その性質を研究すること。
• 境界深さが有限であり、ハミルトニアン摂動の下で重要な安定性および連続性の性質を満たすことを確立すること。
• 境界深さを用いて、不変点集合が不動点可能である部分集合に含まれるハミルトニアンシンプレクティズムに対して、無限個の幾何的に異なる周期的点の存在を証明すること。
• 接触型やステイン多様体における安定なコイゾトロピック部分多様体を含む、正の不動点エネルギーを持つ部分多様体のクラスを拡張すること。
• 安定なコイゾトロピック部分多様体が、その特徴的ファイブレーションが完全測地的となるようなリーマン計量を備え、この幾何的条件が位相的制約の下で正の不動点エネルギーを意味することを示すこと。

提案手法

• CF_*(H,J) の任意の鎖が境界であるとき、それが高々フィルトレーションレベル β だけ高い鎖の境界であるような β ≥ 0 の下界の下界を境界深さ β(H) として定義する。
• 非退化ハミルトニアン H, K に対して、β(H) が almost complex 構造 J に依存せず、|β(H) - β(K)| ≤ ||H - K|| および β(H) ≤ ||H|| を満たすことを証明する。
• スペクトル不変量とフィルター付き鎖ホモトピー論を用いて、幾何的・代数的議論により β(H) が有限であることを示す。
• 境界深さを周期的軌道の解析に応用し、鎖のフィルトレーションとハミルトニアンフローの幾何、およびシンプレクティックファイブレーションへの上への持ち上げの関係を関連付ける。
• カルタン＝ハダマールの定理と測地線フローの性質を用いて、コイゾトロピック部分多様体における非可縮的閉測地線が正の不動点エネルギーを意味することを示す。
• 閉シンプレクティック多様体からの結果を、閉多様体へのシンプレクティック埋め込みを介してステイン多様体へと拡張し、不動点エネルギーの下界を保存することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミルトニアンフローエリアホモロジーにおける境界の非自明なフィルトレーション行動を検出できる新しいフローエリア的不変量を定義できるか？
• RQ2 境界深さが正であれば、ハミルトニアンシンプレクティズムに対して無限個の幾何的に異なる周期的点が存在するか？
• RQ3 シンプレクティック多様体のコイゾトロピック部分多様体の中で、正の不動点エネルギーを持つものはどれであり、これは幾何的または位相的条件によって示せるか？
• RQ4 コイゾトロピック部分多様体上の特徴的ファイブレーションが完全測地的であるという条件が、適切な位相的仮定の下で正の不動点エネルギーを意味するか？
• RQ5 ステイン多様体におけるコイゾトロピック部分多様体の安定性が正の不動点エネルギーを意味するか？また、これは閉多様体から非コンパクトシンプレクティック多様体へと拡張可能か？

主な発見

• 境界深さ β(H) は有限であり、非退化ハミルトニアン H, K に対してリプシッツ型の不等式 |β(H) - β(K)| ≤ ||H - K|| を満たす。
• 不動点可能部分集合に含まれるハミルトニアンシンプレクティズムで境界深さが正であるものは、無限個の幾何的に異なる周期的点を持つ。
• 閉シンプレクティック多様体における接触型コイゾトロピック部分多様体は、正の不動点エネルギーを持つ。
• ステイン多様体における安定なコイゾトロピック部分多様体は、π₂(N) 上で ω|_N が正確であることから、正の不動点エネルギーを持つ。
• 安定なコイゾトロピック部分多様体は、その特徴的ファイブレーションが完全測地的となるようなリーマン計量を備え、π₂(N) = 0 のときこの条件が正の不動点エネルギーを意味する。
• 球面上のシンプレクティック面積スペクトルが離散的であるような安定なコイゾトロピック部分多様体に対しては、チューブ型近傍にのみ依存する正の下界 c > 0 が存在する。