[論文レビュー] Coisotropic Submanifolds, Leafwise Fixed Points, and Presymplectic Embeddings

Fabian Ziltener|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、幾何的に有界なシンプレクティック多様体の閉じた正則コイズォトロピック部分多様体上で、恒等写像に十分近いハミルトニアン微分同相写像の葉ごと固定点の数に対する下界を確立する。フローリング理論的技法とラグランジュ的状況への還元を用いて、その固定点の数が部分多様体の $β_2$ ベッチ数の和以上であることを証明し、これはチェカノフのラグランジュ的結果を一般化するとともに、アーノルド＝ギヴェンタル予想のコイズォトロピック版を支持する。

ABSTRACT

Let $(M,ω)$ be a geometrically bounded symplectic manifold, $N\subseteq M$ a closed, regular (i.e. "fibering") coisotropic submanifold, and $ϕ:M o M$ a Hamiltonian diffeomorphism. The main result of this article is that the number of leafwise fixed points of $ϕ$ is bounded below by the sum of the $Z_2$-Betti numbers of $N$, provided that the Hofer distance between $ϕ$ and the identity is small enough and the pair $(N,ϕ)$ is non-degenerate. The bound is optimal if there exists a $Z_2$-perfect Morse function on $N$. A version of the Arnol'd-Givental conjecture for coisotropic submanifolds is also discussed. As an application, I prove a presymplectic non-embedding result.

研究の動機と目的

• ハミルトニアン微分同相写像がコイズォトロピック部分多様体上で恒等写像に十分近い場合の、葉ごと固定点の数に対する下界を確立すること。
• ラグランジュ的部分多様体に対して成り立つチェカノフの結果を、より広いクラスのコイズォトロピック部分多様体へ一般化すること。
• トポロジカル不変量を用いて、コイズォトロピック版のアーノルド＝ギヴェンタル予想を提示・支持すること。
• 主定理を応用して、プレシンプレクティックな埋め込み結果を導出すること。
• 部分多様体上に $\mathbb{Z}_2$-完全なモース関数が存在する場合に、下界が鋭いかどうかを示すこと。

提案手法

• コイズォトロピック問題を、シンプレクティック還元と同相的 foliation のファイバー束構造を用いてラグランジュ的状況へ還元すること。
• パrameter $C$ に依存するホーファー距離 $d(\varphi, \mathrm{id}) < C$ を制御パラメータとして用いる。ここで $C$ は三重組 $(M,\omega,N)$ の最小面積 $A(M,\omega,N)$ に依存する。
• $\mathbb{Z}_2$-係数ホモロジーを用いて、$\sum_{i=0}^{\dim N} b_i(N, \mathbb{Z}_2)$ を下界として計算すること。
• 対 $(N, \varphi)$ の非退化性条件を用いて、横断性を保証し、退化した固定点集合を回避すること。
• 局所チャートにおけるコンパクト台付きベクトル場と $L^1$-ノルム推定を用いて、フローを制御し、変位制御に関する重要な技術的補題を証明すること。
• エクhaustion列上の上界関数のボレル可測性を用いて、ホーファー半ノルムの定義の正当化を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミルトニアン微分同相写像 $\varphi$ がコイズォトロピック部分多様体 $N$ 上で恒等写像に十分近いとき、その葉ごと固定点の最小数は何か？
• RQ2 トポロジカル不変量（例：ベッチ数）を用いて、アーノルド＝ギヴェンタル予想をコイズォトロピック部分多様体へ拡張できるか？
• RQ3 部分多様体上に $\mathbb{Z}_2$-完全なモース関数が存在するような条件下で、$\sum b_i(N, \mathbb{Z}_2)$ に対する固定点数の下界は鋭いか？
• RQ4 下界が成り立つ最適なホーファー距離の閾値 $C$ は何か？また、それは最小面積 $A(M,\omega,N)$ とどのように関係するか？
• RQ5 この結果を用いて、プレシンプレクティック幾何における非埋め込み定理を導出できるか？

主な発見

• 下界 $|\mathrm{Fix}(\varphi, N)| \geq \sum_{i=0}^{\dim N} b_i(N, \mathbb{Z}_2)$ が、$d(\varphi, \mathrm{id}) < C$ かつ $(N, \varphi)$ が非退化である限り成り立つ。
• 部分多様体 $N$ 上に $\mathbb{Z}_2$-完全なモース関数が存在する場合、下界は鋭くなる。これはステイフェル多様体 $V(k,n)$ の例で示された。
• $M = \mathbb{C}^{k \times n}$ に標準的シンプレクティック形式 $\omega_0$ を持ち、$N = V(k,n)$ とすると、$d(\varphi, \mathrm{id}) < \pi$ のとき、$|\mathrm{Fix}(\varphi, V(k,n))| \geq 2^k$ が成り立ち、これは鋭い。
• $A(\mathbb{C}^{k \times n}, \omega_0, V(k,n)) = \pi$ であり、$C \geq A(M,\omega,N)$ という条件は鋭い：$\pi$ を超えて $C$ を大きくすると、結論が成り立たなくなる。
• この結果は、チェカノフのラグランジュ的定理を一般化し、$\mathrm{codim} N \notin \{0,1,\dim M/2\}$ であるコイズォトロピック部分多様体に対し、$C^1$-近さを仮定しないで初めての下界を与える。
• 応用として、プレシンプレクティックな非埋め込み結果が得られ、特定のコイズォトロピック埋め込みがホーファーノルムの制約のもとでは存在し得ないことを示している。