[論文レビュー] Boundary quotients and ideals of Toeplitz C*-algebras of Artin groups

John Crisp, Marcelo Laca|ArXiv.org|Apr 6, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 10被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、右角アービン群およびより一般の準格子順序群に関連するトーベィツC*-代数の理想構造と境界商を研究する。これらの代数を部分交差積として実現し、可解性および位相的自由性の基準を適用することにより、中心が自明なアービン群に対して、境界商が純粋無限的かつ単純であることを証明する。さらに、Cuntzの$\mathcal{O}_n$の一般化である境界商の表示を、生成元の部分集合によってパラメータ付けたものとして提供する。

ABSTRACT

We study the quotients of the Toeplitz C*-algebra of a quasi-lattice ordered group (G,P), which we view as crossed products by a partial actions of G on closed invariant subsets of a totally disconnected compact Hausdorff space, the Nica spectrum of (G,P). Our original motivation and our main examples are drawn from right-angled Artin groups, but many of our results are valid for more general quasi-lattice ordered groups. We show that the Nica spectrum has a unique minimal closed invariant subset, which we call the boundary spectrum, and we define the boundary quotient to be the crossed product of the corresponding restricted partial action. The main technical tools used are the results of Exel, Laca, and Quigg on simplicity and ideal structure of partial crossed products, which depend on amenability and topological freeness of the partial action and its restriction to closed invariant subsets. When there exists a generalised length function, or controlled map, defined on G and taking values in an amenable group, we prove that the partial action is amenable on arbitrary closed invariant subsets. Our main results are obtained for right-angled Artin groups with trivial centre, that is, those with no cyclic direct factor; they include a presentation of the boundary quotient in terms of generators and relations that generalises Cuntz's presentation of O_n, a proof that the boundary quotient is purely infinite and simple, and a parametrisation of the ideals of the Toeplitz C*-algebra in terms of subsets of the standard generators of the Artin group.

研究の動機と目的

• 準格子順序群、特に右角アービン群に関連するトーベィツC*-代数の理想構造を理解すること。
• 共変等長表現における適切性条件の不成立に起因する境界商を、その失敗に起因する商として特徴付けること。
• 部分作用の可解性および位相的自由性を用いて、境界商が純粋無限的かつ単純となる条件を確立すること。
• Cuntzの$\mathcal{O}_n$の表示を一般化する生成元と関係式による境界商の表示を提供すること。
• 特に中心が自明なアービン群に対して、トーベィツC*-代数の理想を標準生成元の部分集合によってパラメータ付けすること。

提案手法

• 正の錐$P$の下向きかつ有向な部分集合の完全不連結コン pact Hausdorff空間たるニカスペクトラムを介して、トーベィツC*-代数を部分交差積として実現する。
• 境界スぺクトラムをニカスぺクトラムにおける唯一の最小の閉じた不変部分集合として特定し、境界商をこの部分集合上での制限された部分作用の交差積として定義する。
• Exel, Laca, Quiggの部分交差積の単純性および理想構造に関する結果を適用し、部分作用の可解性および位相的自由性に依存する。
• 一般化された長さ関数（制御写像）がアービン群への写像として存在する場合、閉じた不変部分集合上の部分作用の可解性を証明する。
• 準格子順序群の「コア」を導入し、境界作用の位相的自由性を特徴づける。これは単純性の観点で極めて重要である。
• 逆グラフ$\Gamma^{\rm opp}$の有限連結成分の有限部分集合のラティスを用いて理想をパラメータ付けし、商の表示を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心が自明な右角アービン群のトーベィツC*-代数の理想構造は何か？ そして、どのように部分集合によってパラメータ付けできるか？
• RQ2 トーベィツC*-代数の境界商が純粋無限的かつ単純となる条件は何か？
• RQ3 共変等長表現における適切性条件の不成立は、理想および商の構造とどのように関係するか？
• RQ4 境界商は、Cuntzの$\mathcal{O}_n$の表示を一般化する生成元と関係式によって記述可能か？
• RQ5 アービン群への制御写像が、ニカスぺクトラムの不変部分集合上の部分作用の可解性にどのように影響するか？

主な発見

• 中心が自明な右角アービン群のトーベィツC*-代数の境界商は、境界部分作用が可解的かつ位相的に自由である限り、純粋無限的かつ単純である。
• 境界商は、Cuntzの$\mathcal{O}_n$の表示を一般化する生成元と関係式による表示を有する。関係式は、すべての生成元$V_s$の積$1 - V_s V_s^*$に対応する。
• トーベィツC*-代数の理想は、標準生成元の部分集合によってパラメータ付け可能であり、各理想は互いに比較不能な有限部分集合の集合によって一意に生成される。
• トーベィツC*-代数の最大の真部分理想は、$\Gamma^{\rm opp}$の有限連結成分に対応する$S_\lambda$の基本関係によって生成され、有限の場合には単集合に対応する。
• 中心が自明な右角アービン群に対して、境界商は$\Gamma^{\rm opp}$の各有限連結成分$S_i$に対して$\prod_{s \in S_i} (I - V_s V_s^*) = 0$を追加する商であり、これは一意的かつ最大の真商である。
• 境界商の$K_0$における単位元の位数は、$|\chi(\Gamma) - 1|$であると予想されている。ここで$\chi(\Gamma)$はグラフ$\Gamma$のオイラー特徴量である。