[論文レビュー] Boundary regularity for nonlocal operators with kernels of variable orders

Minhyun Kim, Panki Kim+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、可変型核を有する非局所的ディリクレ問題の粘性解の境界正則性を、一般化されたホルダー空間枠組みを導入することによって確立する。弱いスケーリングおよび減衰条件の下で、核のレヴィ密度に対して、解は $ u \in C^V(D) $ かつ $ u/V(d_D) \in C^\alpha(D) $ を満たし、一様推定が成り立つ。ここで $ V $ は再生関数、$ d_D $ は境界からの距離を表す。

ABSTRACT

We study the boundary regularity of solutions of the Dirichlet problem for the nonlocal operator with a kernel of variable orders. Since the order of differentiability of the kernel is not represented by a single number, we consider the generalized Hölder space. We prove that there exists a unique viscosity solution of $Lu = f$ in $D$, $u=0$ in $\mathbb{R}^n \setminus D$, where $D$ is a bounded $C^{1,1}$ open set, and that the solution $u$ satisfies $u \in C^V(D)$ and $u/V(d_D) \in C^α(D)$ with the uniform estimates, where $V$ is the renewal function and $d_D(x) = \mbox{dist}(x, \partial D)$.

研究の動機と目的

• 可変型核を有する非局所的ディリクレ問題の粘性解の境界正則性を確立すること。
• 古典的ホルダー正則性理論を、空間的に変化する微分の次数を持つ非局所作用素へと拡張すること。
• 基礎となるレヴィ過程に関連する再生関数 $ V $ を用いて、解の正確な境界挙動を特徴付けること。
• 解 $ u $ の距離関数 $ d_D $ および再生関数 $ V $ を用いた一様推定を証明すること。
• 定数次数の分数ラプラシアンに関する結果を、弱いスケーリングおよび減衰条件の下で可変型核を有する非局所作用素へ一般化すること。

提案手法

• 非局所作用素を補助ブラウン運動の無限小生成作用素として解釈することにより、確率的道具を用いる。
• 可変型の挙動をモデル化するため、 Bernstein 関数 $ \phi $ を用い、$ \phi(\lambda) $ が無限大において弱いスケーリングを満たすようにする。
• 一次元のレヴィ過程に関連する再生関数 $ V $ を定義し、これが解の境界挙動を制御する。
• バリアを構築し、ハーナック型不等式を用いて $ u/V(d_D) $ の境界近傍における振動を制御する。
• dyadic アニュラスにおける補間および振動推定を用い、$ D $ 内で $ u/V(d_D) $ のホルダー連続性を証明する。
• 補助ブラウン運動の killed プロセスのポテンシャル作用素を用いて、事前推定を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 核が可変型を有する場合、非局所的ディリクレ問題の解 $ u $ は境界付近でどのように振る舞うか？
• RQ2 再生関数 $ V $ は、解の境界正則性を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ3 古典的ホルダー正則性理論は、可変型核を有する非局所作用素へ拡張可能か？
• RQ4 レヴィ密度にどのような条件下で、解 $ u $ が $ u/V(d_D) \in C^\alpha(D) $ を満たし、一様推定が成り立つか？
• RQ5 $ \phi $ および $ j(r) $ に対する弱いスケーリングおよび減衰条件は、解の境界正則性にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 有界な $ C^{1,1} $ 域 $ D $ に対して、ディリクレ問題 $ Lu = f $ in $ D $、$ u = 0 $ in $ \mathbb{R}^n \setminus D $ は一意な粘性解 $ u $ を持つ。
• 解は $ u \in C^V(D) $ を満たし、再生関数 $ V $ によって制御される。$ V $ は核の可変型性を捉えている。
• 正規化された解 $ u/V(d_D) $ は、ある $ \alpha > 0 $ に対してホルダー空間 $ C^\alpha(D) $ に属し、推定値は $ \|f\|_{L^\infty(D)} $ のみに依存する一様推定を持つ。
• $ u/V(d_D) $ のホルダー半ノルムは、半径 $ r $ の球に対して $ C r^{-\beta} / V(r) $ で有界であり、ここで $ r = d_D(x) $ である。これにより境界にまで正則性が保証される。
• 証明は dyadic アニュラスにおける振動推定と、$ 1/V(d_D) $ のホルダーおよびリプシッツノルム間の補間に依拠し、$ \left[ u/V(d_D) \right]_{C^\beta} \leq C r^{-\beta} / V(r) $ を得る。
• 解 $ u/V(d_D) $ の $ D $ 上における最終的なホルダー連続性は、小距離 $ |x-y| $ における局所的推定と、大距離 $ |x-y| $ におけるグローバルな振動バウンドを組み合わせることで確立され、$ \alpha > 0 $ のグローバルな $ C^\alpha $ 推定が得られる。