[論文レビュー] Boundary regularity for the second boundary-value problem of Monge-Ampère equations in dimension two

Shibing Chen, Jiakun Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 3被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、2次元におけるMonge-Ampère方程式の第2境界値問題について、最良の条件下で鋭い全域 $ C^{2,\beta} $ 正則性を確立する。具体的には、$ C^{1,\beta} $ 境界をもつ凸領域と $ f \in C^\beta $ である右辺を仮定する。著者らは、ヘッセ行列のホルダー正則性を向上させるために、新規の反復的議論を導入し、境界にまで $ C^{2,\beta} $ を達成する。主な結果として、$ f $ に対して弱い可積分性仮定のもとで、全域 $ W^{2,p} $ および $ W^{2,1+\epsilon} $ 評価が得られる。

ABSTRACT

In this paper, we introduce an iteration argument to prove that a convex solution to the Monge-Ampère equation $\mbox{det } D^2 u =f $ in dimension two subject to the natural boundary condition $Du(Ω) = Ω^*$ is $C^{2,α}$ smooth up to the boundary. We establish the estimate under the sharp conditions that the inhomogeneous term $f\in C^α$ and the domains are convex and $C^{1,α}$ smooth. When $f\in C^0$ (resp. $1/C

研究の動機と目的

• 最も弱い仮定のもとで、2次元におけるMonge-Ampère方程式の全域 $ C^{2,\alpha} $ 正則性を確立する：凸領域で境界が $ C^{1,\alpha} $、右辺が $ f \in C^{\alpha} $ であること。
• 右辺 $ f $ が連続であるか、0から離れている場合に限って、$ W^{2,p} $ および $ W^{2,1+\epsilon} $ 評価を拡張する。
• ホルダー指数を $ \alpha $ から $ \alpha' > \alpha $ に向上させる新しい反復的議論を構築し、最終的にすべての $ \alpha < 1 $ に対して $ C^{1,\alpha} $ を得る。
• 一様非退化性および密度性の性質が、一様強凸性がなくても、2次元では全域正則性を保証することを示す。
• 一様強凸性に依存しない新たな証明戦略を提示し、領域の幾何的仮定を著しく弱める。

提案手法

• ヘッセ行列のホルダー指数を $ \alpha $ から $ \alpha' > \alpha $ に向上させる反復的幾何的議論を導入し、各ステップで一様な増分 $ \alpha' - \alpha \geq \delta > 0 $ を得ることで、$ C^{1,\alpha} $ への収束を可能にする。
• ヘッセ行列の下位集合の分布を制御するため、ビタリ被覆補題を用いる。
• CaffarelliとCLWによる下位集合の均一密度性を用い、レベル集合のサイズを領域の幾何と関連付ける。
• 主要な減衰推定式を確立する：$ \int_{D_{k+1}} \|D^2 u\| \leq (1 - \tau) \int_{D_k} \|D^2 u\| $、ここで $ D_k = \{ \|D^2 u\| \geq N^k \} $ であり、$ \tau > 0 $ は普遍的定数である。この推定により、可積分性の向上が示される。
• アフィン正規化を用いて、下位集合におけるヘッセ行列の大きさを単位球と比較し、ヘッセ行列のヤコビアン行列式を介して比較推定を行う。
• 先行研究で得られた一様非退化性に加え、均一密度性および幾何的反復を組み合わせ、全域的 $ C^{2,\alpha} $ および $ W^{2,p} $ 評価を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元におけるMonge-Ampère方程式の全域的 $ C^{2,\alpha} $ 正則性を保証するための、領域および右辺 $ f $ における最小正則性は何か？
• RQ2 領域の一様強凸性を仮定しないで、$ C^{2,\alpha} $ 正則性を確立できるか？
• RQ3 反復的議論が、ヘッセ行列のホルダー指数をどのように向上させ、1ステップあたりの最小増分は何か？
• RQ4 $ f \in C^0 $ または $ \lambda^{-1} < f < \lambda $ のような条件下で、全域的 $ W^{2,p} $ や $ W^{2,1+\epsilon} $ 正則性が達成できる条件は何か？
• RQ5 幾何的反復法を高次元に拡張し、$ f $ が有界なもとで $ \mathbb{R}^n $（$ n > 2 $）において $ W^{2,1+\epsilon} $ 正則性を示せるか？

主な発見

• 本稿は、$ \Omega, \Omega^* $ が凸で境界が $ C^{1,\alpha} $、$ f \in C^{\alpha} $ であるという鋭い条件下で、2次元におけるMonge-Ampère方程式の全域的 $ C^{2,\alpha} $ 正則性を証明する。$ C^{2,\alpha} $ ノルムの定数は $ f $、$ \Omega $、$ \Omega^* $ のみに依存する。
• ホルダー指数を一様に $ \delta > 0 $ だけ向上させる反復的議論を構築し、すべての $ \alpha < 1 $ に対して $ u \in C^{1,\alpha} $ を得る。これにより、すべての $ \alpha < 1 $ に対して $ u \in C^{2,\alpha} $ が成立する。
• 右辺 $ f \in C^0(\overline{\Omega}) $ で、境界 $ \partial\Omega, \partial\Omega^* \in C^{1,\epsilon} $（$ \epsilon > 0 $）を仮定すると、すべての $ p \geq 1 $ に対して全域的 $ W^{2,p} $ 正則性が成立する。
• 右辺が $ \lambda^{-1} < f < \lambda $ のとき、全域的 $ W^{2,1+\epsilon} $ 正則性が証明され、$ \epsilon, C > 0 $ は $ \lambda $ および領域にのみ依存する普遍的定数である。
• 証明は、幾何的減衰推定式 $ \int_{D_{k+1}} \|D^2 u\| \leq (1 - \tau) \int_{D_k} \|D^2 u\| $（$ \tau \in (0,1) $ は普遍的）に依存しており、これは $ L^p $ および $ W^{2,1+\epsilon} $ 可積分性を示す。
• 高次元への拡張も確立された：$ \mathbb{R}^n $（$ n > 2 $）において、境界が $ C^{1,1} $ で $ f $ が有界なもとで、$ W^{2,1+\epsilon} $ 正則性が成り立ち、$ \epsilon, C $ は $ n, \lambda, \Omega, \Omega^* $ のみに依存する。