[論文レビュー] Global regularity for the Monge-Ampère equation with natural boundary condition

Shibing Chen, Jiakun Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 21被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、境界が $C^{1,1}$ で有界な凸領域 $Ω$ と $Ω^*$ であり、$f$ が Hölder 継続的であると仮定した下で、Monge-Ampère 方程式 $\det D^2u = f$ に対して、$C^{2,\beta}$ および $W^{2,p}$ のグローバル正則性を確立する。主な貢献は、従来の結果が境界の均一凸性を仮定していたのに対し、本稿ではその仮定を排除し、凸性のみで正則性を示したことにある。

ABSTRACT

In this paper, we establish the global $C^{2,α}$ and $W^{2,p}$ regularity for the Monge-Ampère equation $\det\,D^2u = f$ subject to boundary condition $Du(Ω) = Ω^*$, where $Ω$ and $Ω^*$ are bounded convex domains in the Euclidean space $\mathbb{R}^n$ with $C^{1,1}$ boundaries, and $f$ is a Hölder continuous function. This boundary value problem arises naturally in optimal transportation and many other applications.

研究の動機と目的

• Monge-Ampère 方程式 $\det D^2u = f$ と自然境界条件 $Du(\Omega) = \Omega^*$ に対して、グローバル $C^{2,\alpha}$ 正則性を確立すること。ここで $\Omega$ と $\Omega^*$ は凸領域である。
• 従来の文献で必要とされていた領域 $\Omega$ と $\Omega^*$ の均一凸性の仮定を排除すること。
• 最小限の仮定の下でグローバル $W^{2,p}$ 正則性を証明すること。具体的には $f \in C^0(\overline{\Omega})$ および $C^{1,1}$ 境界を仮定する。
• 領域が凸であるが均一凸でない場合でも、$C^{1,1}$ 境界正則性がグローバル $C^{2,\alpha}$ および $W^{2,p}$ 評価に十分であることを示すこと。

提案手法

• 境界付近での解の挙動を解析するためのブロー・アップ法を用い、$u$ の部分集合を正規化して極限形状を研究する。
• 連続性の方法とスケールごとの振動の制御のための反復的推定を適用して、$D^2u$ の振動を制御する。
• 幾何的および解析的推定を通じて、一様な傾斜性と接線方向の $C^{1,\alpha}$ 正則性を確立する。
• 領域の二進分割と、逐次的な近似関数 $u_k$ を用いた二階微分の反復的制御を用い、$f$ のモジュラス連続性 $\omega(r)$ を用いた誤差評価を導出する。
• Hölder 継続性を仮定した $f$ を用いて、$\omega(r)/r$ および $\omega(r)/r^2$ の積分的評価を用いて、$|D^2u(z) - D^2u(0)|$ の差を推定することで、境界における $D^2u$ のHölder連続性を証明する。
• 一様有界性を仮定することで、$C^{2,\alpha-\varepsilon}$ 評価における $\varepsilon$ の損失を除去し、$C^{2,\alpha}$ への改善を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自然境界条件を満たす Monge-Ampère 方程式に対して、領域の均一凸性を仮定せずにグローバル $C^{2,\alpha}$ 正則性を確立できるか？
• RQ2 領域が凸であるが均一凸でない場合、$C^{1,1}$ 境界正則性がグローバル $C^{2,\alpha}$ および $W^{2,p}$ 評価に十分であるか？
• RQ3 境界データおよび右辺 $f$ の鋭い正則性閾値は何か？ これによりグローバルな2階正則性が保証されるか？
• RQ4 $C^{1,1}$ 境界条件を $C^{1,1-\theta}$ に弱めることが可能か？ ただし、$u$ が十分に滑らかであると仮定する。
• RQ5 領域が凸で $C^{1,1}$ 境界を持つ場合、$f \in C^0(\overline{\Omega})$ に対してグローバル $W^{2,p}$ 評価が成り立つか？

主な発見

• Monge-Ampère 方程式 $\det D^2u = f$ と自然境界条件 $Du(\Omega) = \Omega^*$ に対して、$\Omega$ と $\Omega^*$ が有界な凸領域で $C^{1,1}$ 境界を持ち、$f \in C^{\alpha}(\overline{\Omega})$ が正であると仮定した下で、グローバル $C^{2,\alpha}$ 正則性が確立された。
• 従来の文献で必要とされていた領域の均一凸性の仮定は排除され、凸性のみで十分であることが示された。
• $f \in C^0(\overline{\Omega})$ で領域が凸かつ $C^{1,1}$ 境界を持つ場合、すべての $p \geq 1$ に対してグローバル $W^{2,p}$ 評価が成り立つ。
• $f$ が Dini 継続的である場合でさえ、Hölder 継続性がなくても、$D^2u$ は境界に沿って連続に拡張可能である。
• 証明により、$C^{1,1}$ 境界正則性を $C^{1,1-\theta}$ に弱めることが可能であり、その場合でも $\theta > 0$ で、解がグローバルに $C^{1,\delta}$ スムーズであれば成立する。
• 結果は2次元における $C^{1,\alpha}$ 境界に拡張可能であり、この方法は凸領域の摂動に対しても適用可能であり、小さな非凸摂動に対しても解の滑らかさが保証される。