[論文レビュー] Boundary representations of hyperbolic groups

Łukasz Garncarek|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 28被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、$L^2(\Gamma, \mu)$ 上のGromov双曲群の境界表現が、$\mu$ がPatterson-Sullivan測度である場合、常に既約であることを確立する。重み付き平均とvon Neumann代数の技法を用いて、漸近的測地線数え上げに依存せずに既約性を証明し、それらの表現のユニタリ同値性を基礎となる計量の粗い類似性によって分類する。

ABSTRACT

Let $Γ$ be a Gromov hyperbolic group, endowed with an arbitrary left-invariant hyperbolic metric, quasi-isometric to a word metric. The action of $Γ$ on its boundary $\partialΓ$ endowed with the Patterson-Sullivan measure $μ$, after an appropriate normalization, gives rise to a faithful unitary representation of $Γ$ on $L^2(\partialΓ,μ)$. We show that these representations are irreducible, and give criteria for their unitary equivalence in terms of the metrics on $Γ$. Special cases include quasi-regular representations on the Poisson boundary.

研究の動機と目的

• 双曲群 $\Gamma$ がそのGromov境界に作用する際のPatterson-Sullivan測度に基づく境界表現の既約性を確立すること。
• 基礎となる計量の幾何的性質を用いて、このような境界表現がいつユニタリ同値となるかを分類すること。
• 負曲率多様体の基本群や自由群を含む特定クラスの双曲群について既存の既約性結果を一般化すること。
• Margulisの定理のような深いつい漸近的数え上げ結果に依存しない、自己完結的な既約性の証明を提供すること。重み付き平均を算術平均の代わりに用いる。
• これらの境界表現が正則表現に弱く含まれることを示し、それらを双曲群上の調和解析と結びつけること。

提案手法

• 左不変な双曲計量で、語の計量に準等長的なPatterson-Sullivan測度 $\mu$ を持つ双曲群 $\Gamma$ に対して、$L^2(\partial\Gamma, \mu)$ 上のユニタリ表現を構成する。
• 漸近的測地線数え上げ定理の必要性を避けるために、算術平均の代わりに重み付き平均を用いて、表現のvon Neumann代数内の作用素を定義する。
• 弱 $L^1$ 評価と連続関数による近似論法を用いて、表現作用に関連する最大関数の点ごとの挙動を制御する。
• Poincaré再帰と準測地線フロー技法を用いて、$\partial\Gamma \times \partial\Gamma$ 上のPatterson-Sullivan測度に対する二重エルゴード性を証明する。
• 境界表現がユニタリ同値であることと、基礎となる計量が粗い類似性であることとは同値であることを示し、境界の構造と測度類の不変性を用いる。
• 準正則表現および非可換系の理論を用いて、結果を局所コンパクト群および離散群の表現論の広い文脈に位置づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 左不変な双曲計量で語の計量に準等長的な任意の計量について、$L^2(\partial\Gamma, \mu)$ 上の双曲群の境界表現は、Patterson-Sullivan測度 $\mu$ に対して常に既約か？
• RQ2 このような境界表現がユニタリ同値となるための計量の幾何的条件は何か？
• RQ3 Margulisの漸近的測地線数え上げ結果のような深い漸近的数え上げ結果に依存せずに、境界表現の既約性を証明できるか？
• RQ4 これらの境界表現は、群の正則表現とどのように関係しているか？
• RQ5 境界表現が、それらのユニタリ同値類を通じて、群の大規模幾何をどの程度捉えられるか？

主な発見

• 任意のGromov双曲群について、$L^2(\partial\Gamma, \mu)$ 上の境界表現は、Patterson-Sullivan測度 $\mu$ に対して常に既約である。
• 境界表現同士がユニタリ同値であることと、それに対応する計量が粗い類似性であることとは同値である。
• 既約性の証明は自己完結的であり、Margulis型の漸近的測地線数え上げ定理に依存せず、重み付き平均を用いることで回避される。
• 境界作用はPatterson-Sullivan測度に関して二重エルゴード的であり、これが既約性を確立する上で重要な技術的ステップである。
• 境界表現は $\Gamma$ の正則表現に弱く含まれており、それらを群上の調和解析と結びつける。
• 本結果は、BaderとMuchnikの先行研究を一般化し、双曲群上の非一様的ランダムウォークのポisson境界上の表現の既約性を特別な場合として含む。