[論文レビュー] Boundary States for Chiral Symmetries in Two Dimensions

Philip Boyle Smith, David Tong|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2019

Topological Materials and Phenomena参考文献 33被引用数 5

ひとこと要約

本稿は1+1次元のディラックフェルミオンにおけるアーベル的なカイラル対称性を保存する境界状態を構築し、フェルミオンの電荷割り当てに基づいて境界中心電荷および基底状態 degeneracy の明示的公式を導出する。すべてのこのような境界状態は、(−1)^F 対称性に関連する2つのクラスに分類され、その違いは片方のマヨラナゼロモードの有無に起因する。後者のクラスでは、ゼロモードの異常性により√2の基底状態 degeneracy が現れる。

ABSTRACT

Abstract: We study boundary states for Dirac fermions in d = 1 + 1 dimensions that preserve Abelian chiral symmetries, meaning that the left- and right-moving fermions carry different charges. We derive simple expressions, in terms of the fermion charge assignments, for the boundary central charge and for the ground state degeneracy of the system when two different boundary conditions are imposed at either end of an interval. We show that all such boundary states fall into one of two classes, related to SPT phases supported by (−1)F , which are characterised by the existence of an unpaired Majorana zero mode.

研究の動機と目的

• 1+1次元のディラックフェルミオン系においてアーベル的カイラル対称性を保存する境界状態を分類すること。
• 区間の両端に異なる境界条件を課した場合の基底状態 degeneracy を特定すること。
• マヨラナゼロモードが境界 conformal field theory における役割とその分配関数への影響を明確化すること。
• フェルミオン的最小模型におけるモジュラー非不変性と非整数 degeneracy の間の表面的矛盾を解消すること。

提案手法

• 境界 conformal field theory における石橋状態とカーディ条件を用いて境界状態を構築する。
• 左移動および右移動フェルミオンを結ぶ線形境界条件を導入し、位相でパrameter化する。
• クラスタリングおよびカーディ＝ルーエンデンのセーディング条件を適用し、区間全体における境界状態の一貫性を保証する。
• スピン構造およびモジュラー S 行列式を用いて区間の分配関数を計算し、基底状態 degeneracy を抽出する。
• マヨラナフェルミオンの M(4,3) 最小模型を解析し、単一のマヨラナゼロモードが分配関数に√2の寄与をもたらすことを示す。
• フェルミオンの電荷割り当ておよびF2上での行列のノルティーを用いて、境界中心電荷および基底状態 degeneracy の一般式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1+1次元のディラックフェルミオンに対して、左移動および右移動フェルミオンの電荷が異なるアーベル的カイラル U(1) 対称性を保存する境界状態はどのように構築できるか？
• RQ2 区間の両端に異なる境界条件が課された場合、基底状態 degeneracy は何かによって決定されるか？
• RQ3 なぜ単一のマヨラナゼロモードが分配関数に√2の寄与をもたらすのか？これはモジュラー非不変性とどのように整合するのか？
• RQ4 2つの異なる境界状態クラスとは何か？それらは片方のマヨラナゼロモードの有無によってどのように分類されるか？
• RQ5 (−1)^F 対称性は境界状態をどのように分類し、1+1次元におけるSPT相と関係するか？

主な発見

• 境界中心電荷はフェルミオンの電荷割り当てによって決定され、F2上での行列のノルティーを含む式で与えられる。
• 両端の境界条件が同一のタイプ（例：V-V または A-A）であり、かつθ1 = θ2である場合、1つの複素ゼロモードに起因して基底状態 degeneracy は2となる。
• 混合境界条件（例：V-A または A-V）の場合、常に1つのマヨラナゼロモードが存在し、これにより基底状態 degeneracy は√2となる。
• 2つの境界状態クラスは、片方のマヨラナゼロモードの有無によって区別され、(−1)^F によって保護される異なるSPT相に対応する。
• 境界条件 ψL = ±ψR を持つマヨラナフェルミオンの分配関数には、ゼロモードに起因する√2の因子が含まれており、理論のモジュラー非不変性と整合的である。
• 境界条件制約のすべての整数解は、フェルミオン電荷行列のスミス標準形を用いて明示的に導出された体積を持つ格子 Λ[R] を用いてパラメータ化可能である。