[論文レビュー] Bounded Independence Fools Degree-2 Threshold Functions

Ilias Diakonikolas, Daniel M. Kane+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2009

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$k = \mathrm{poly}(1/\varepsilon)$-wise 独立分布が、$\{-1,1\}^n$ 上のすべての2次多項式しきい値関数（PTF）を $\varepsilon$-fool することを示し、未解決問題を解決した。主な技術である多変数FT-滑らか化（multivariate FT-mollification）は、単変数の滑らか化を二次形式に一般化し、定数個の2次PTFの積集合を、有界独立性で誤魔化すことを可能にした。また、Goemans-Williamsonの超平面ラウンディング方式の無作為化を、$\widetilde{O}(\varepsilon^{-9})$-wise 独立性で実現した。

ABSTRACT

Let x be a random vector coming from any k-wise independent distribution over {-1,1}^n. For an n-variate degree-2 polynomial p, we prove that E[sgn(p(x))] is determined up to an additive epsilon for k = poly(1/epsilon). This answers an open question of Diakonikolas et al. (FOCS 2009). Using standard constructions of k-wise independent distributions, we obtain a broad class of explicit generators that epsilon-fool the class of degree-2 threshold functions with seed length log(n)*poly(1/epsilon). Our approach is quite robust: it easily extends to yield that the intersection of any constant number of degree-2 threshold functions is epsilon-fooled by poly(1/epsilon)-wise independence. Our results also hold if the entries of x are k-wise independent standard normals, implying for example that bounded independence derandomizes the Goemans-Williamson hyperplane rounding scheme. To achieve our results, we introduce a technique we dub multivariate FT-mollification, a generalization of the univariate form introduced by Kane et al. (SODA 2010) in the context of streaming algorithms. Along the way we prove a generalized hypercontractive inequality for quadratic forms which takes the operator norm of the associated matrix into account. These techniques may be of independent interest.

研究の動機と目的

• すべての2次多項式しきい値関数（PTF）を $\{-1,1\}^n$ 上で $\varepsilon$-fool する最小の $k$ を特定するという未解決問題を解決すること。
• 一様分布に限らない、有界独立性を扱える強固な解析的枠組みを構築し、PTFおよび不変性原理の文脈に拡張すること。
• Goemans-Williamsonの超平面ラウンディング方式が、MaxCutに対して有界独立性によって無作為化可能であることを示すこと。
• 任意の定数個の2次PTFの積集合が、ハイパーキューブおよびガウス空間の両方で $\mathrm{poly}(1/\varepsilon)$-wise 独立性によって $\varepsilon$-fool されることを示すこと。

提案手法

• 有界独立性下での二次形式の指示関数を滑らかにするために、単変数の滑らか化を一般化した多変数FT-滑らか化を導入する。
• 2次形式の行列の作用素ノルムを考慮する一般化された超収縮不等式を証明し、制限された独立性下での集中不等式を可能にする。
• 木構造に基づく構造的分解を用いて、制限された部分関数を $\tau$-正則なPTFまたは $\tau$-定数関数に近いものに分類する。
• $\mathbb{R}^2$ 内の2つの半空間の積集合の指示関数に滑らか化技術を適用し、$O(1/\varepsilon^2)$-wise 独立性でガウス測度を $\varepsilon$ 以内に近似できることを示す。
• 既知の $k$-wise 独立分布の構成を活用し、2次PTFのための明示的擬似乱数生成子を、シード長 $\log n \cdot \widetilde{O}(\varepsilon^{-9})$ で構築する。
• 解析を拡張し、任意の定数 $m$ に対して、$m$ 個の半空間または2次PTFの積集合が $O(1/\varepsilon^2)$-wise 独立性によって $\varepsilon$-fool されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての2次PTFを $\{-1,1\}^n$ 上で $\varepsilon$-fool する最小の $k$ は何か？
• RQ2 元の分布が完全に独立ではなくても、有界独立性下で、符号関数を介した2次形式の分布的性質が保持されるか？
• RQ3 2次多項式で低影響を持つ場合に、Mossell, O'Donnell, Oleszkiewiczの不変性原理が、完全独立性ではなく有界独立性のもとでも成り立つか？
• RQ4 Goemans-Williamsonの超平面ラウンディング方式が、$k = \mathrm{poly}(1/\varepsilon)$ の $k$-wise 独立なランダムベクトルによって無作為化可能か？
• RQ5 定数個の2次PTFの積集合が、ハイパーキューブおよびガウス空間の両方で $\mathrm{poly}(1/\varepsilon)$-wise 独立性によって $\varepsilon$-fool されるか？

主な発見

• 任意の $\widetilde{\Omega}(\varepsilon^{-9})$-wise 独立分布が、$\{-1,1\}^n$ 上のすべての2次PTFを $\varepsilon$-fool する。これはDiakonikolasら（FOCS 2009）の未解決問題を解決した。
• 任意の定数個の2次PTFの積集合は、ハイパーキューブおよび標準ガウス測度の両方で $\mathrm{poly}(1/\varepsilon)$-wise 独立性によって $\varepsilon$-fool される。
• Goemans-Williamsonの超平面ラウンディング方式は、$O(1/\varepsilon^2)$-wise 独立なランダムベクトルを用いて無作為化可能であり、最適値から $\varepsilon$ 以内の期待カット値が得られる。
• 有界独立性が、低影響を持つ2次多項式のMossell, O'Donnell, Oleszkiewiczの不変性原理において十分である。
• 多変数FT-滑らか化技術により、2次形式の行列の作用素ノルムを組み込んだ一般化された超収縮不等式が得られ、より緊密な集中不等式が可能になった。
• 標準的な $k$-wise 独立分布の構成から、2次PTFのための明示的擬似乱数生成子が、シード長 $\log n \cdot \widetilde{O}(\varepsilon^{-9})$ で構築可能である。