[論文レビュー] Bounding Multivariate Trigonometric Polynomials with Applications to Filter Bank Design

Luke Pfister, Yoram Bresler|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2018

Digital Filter Design and Implementation参考文献 22被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、多変数三角多項式の極値に対する効率的でサンプルベースの境界を提案し、1変数の境界を高次元に拡張する。実三角多項式のグローバルな正定性を保証する新たな下界を導入し、2次元、多レート、完全再構成フィルターバンクを設計するための新アルゴリズムを可能にする。再構成精度はPSNR > 80 dBを達成する。

ABSTRACT

The extremal values of multivariate trigonometric polynomials are of interest in fields ranging from control theory to filter design, but finding the extremal values of such a polynomial is generally NP-Hard. In this paper, we develop simple and efficiently computable estimates of the extremal values of a multivariate trigonometric polynomial directly from its samples. We provide an upper bound on the modulus of a complex trigonometric polynomial, and develop upper and lower bounds for real trigonometric polynomials. For a univarite polynomial, these bounds are tighter than existing bounds, and the extension to multivariate polynomials is new. As an application, the lower bound provides a sufficient condition to certify global positivity of a real trigonometric polynomial. We use this condition to motivate a new algorithm for multi-dimensional, multirate, perfect reconstruction filter bank design. We demonstrate our algorithm by designing a 2D perfect reconstruction filter bank.

研究の動機と目的

• 多変数三角多項式の係数からその極値を計算するNP困難な問題に対処すること。
• 補間やグリッドサーチを回避して、サンプル値から直接、このような多項式の極値に対する計算効率の良い境界を構築すること。
• 実三角多項式のグローバルな正定性を保証する十分条件を、新たな下界を用いて提供すること。
• 多変数、多レート、完全再構成フィルターバンクを、FIR合成フィルタを用いて設計すること。
• 提案されたフィルターバンク設計の実現可能性と性能を、2次元において高精度な再構成を伴って示すこと。

提案手法

• 複素多変数三角多項式の絶対値に対する上界を、サンプル値のみを用いて導出する。
• サンプルデータに基づいて、実多変数三角多項式の上界および下界を構築し、よりタイトな1変数拡張を実現する。
• 下界を用いて、トーラス上での実三角多項式のグローバルな正定性を保証する十分条件とする。
• 分析フィルタのポリフェーズ行列に、合成フィルタと分析フィルタのポリフェーズ行列の積が単位行列と乖離する際の2次罰則を課えるフィルターバンク設計問題を定式化する。
• サンプルベースの境界を用いて、2次元周波数領域全体にわたり完全再構成条件が満たされていることを検証し、サンプル点を超えて制約が満たされていることを保証する。
• Adamアルゴリズムを用いてフィルタ係数を最適化し、罰則パラメータλを段階的に増加させることで、ポリフェーズ行列に対する左逆行列条件を強制する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 補間やグリッドサーチを用いずに、サンプル値から多変数三角多項式の極値を効率的に推定できるか？
• RQ2 実三角多項式のよりタイトな下界を導出でき、グローバルな正定性を保証できるか？
• RQ3 この下界を用いて、多変数、多レート、完全再構成フィルターバンクを設計できるか？
• RQ4 FIR合成フィルタを設計することで、サンプル制約のみが課された場合でも、完全再構成条件がグローバルに満たされるか？
• RQ5 提案されたフィルターバンク設計の実用的画像処理タスクにおける再構成性能はいかほどか？

主な発見

• 提案された実三角多項式の下界は、グローバルな正定性を保証する十分条件を提供し、フィルターバンクにおける完全再構成の認証を可能にする。
• 本手法は、バーバラテスト画像においてPSNRが80 dBを超える2次元、多レートフィルターバンクで完全再構成を達成する。
• 可視的な構造を欠く設計されたFIR合成フィルタは、128²個の周波数サンプルにおいてフロベニウスノルム誤差が10⁻⁷未満に抑えられ、ほぼ完全再構成であることを確認する。
• 最小ノルムの合成フィルタは、係数が指数的かつ速やかに減衰するため、良好な条件数とFIRフィルタによる近似可能性を示している。
• サンプルベースの境界により、多項式の完全評価や大規模な半正定値計画問題の解法を必要とせずに、完全再構成制約のグローバルな検証が可能である。
• 本アルゴリズムは2次元フィルターバンク設計に効果的にスケーリングされ、多次元信号処理応用分野における手法の実現可能性を示している。