[論文レビュー] Bounds for the rainbow disconnection number of graphs

Xuqing Bai, Zhong Huang+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2020

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、連結グラフ G のレインボー非接続数 rd(G) に対してタイトな上界を確立し、λ⁺(G) が上側辺連結性であるとき rd(G) ≤ λ⁺(G) + 1 であるという予想を証明し、線グラフ L(G) のレインボー頂点非接続数 rvd(L(G)) との間の重要な関係を明らかにした。rd(G) ≤ rvd(L(G)) が成り立ち、δ(G) ≥ 4 のもとで等号が成り立つのは rd(G) = χ′(G) のときのみであることを示した。

ABSTRACT

An edge-cut $R$ of an edge-colored connected graph is called a rainbow-cut if no two edges in the edge-cut are colored the same. An edge-colored graph is rainbow disconnected if for any two distinct vertices $u$ and $v$ of the graph, there exists a $u$-$v$-rainbow-cut separating them. For a connected graph $G$, the rainbow disconnection number of $G$, denoted by rd$(G)$, is defined as the smallest number of colors that are needed in order to make $G$ rainbow disconnected. In this paper, we first give some tight upper bounds for rd$(G)$, and moreover, we completely characterize the graphs which meet the upper bound of the Nordhaus-Gaddum type results obtained early by us. Secondly, we propose a conjecture that $λ^+(G)\leq extnormal{rd}(G)\leq λ^+(G)+1$, where $λ^+(G)$ is the upper edge-connectivity, and prove the conjecture for many classes of graphs, to support it. Finally, we give the relationship between rd$(G)$ of a graph $G$ and the rainbow vertex-disconnection number rvd$(L(G))$ of the line graph $L(G)$ of $G$.

研究の動機と目的

• 連結グラフのレインボー非接続数 rd(G) に対するタイトな上界を確立すること。
• Nordhaus-Gaddum 型の結果における上界に達するグラフを同定すること。
• λ⁺(G) が上側辺連結性であるとき rd(G) ≤ λ⁺(G) + 1 という予想を証明すること。
• グラフ G のレインボー非接続数 rd(G) とその線グラフ L(G) のレインボー頂点非接続数 rvd(L(G)) の関係を調査すること。

提案手法

• エッジ彩色技術を用いて、レインボー切断とレインボー非接続彩色を定義する。
• エッジ彩色の性質を保ちながら、グラフを k-辺連結で k-正則な成分に簡約する操作を適用する。
• 帰納法と偶奇性の議論を用いて、最終的なエッジ彩色が適切であることを証明し、rd(G) ≥ χ′(G) を示す。
• G のエッジ彩色とその線グラフ L(G) の頂点彩色との間の一対一対応を確立する。
• 背理法と構造的解析を用いて、δ(G) ≥ 4 のもとで等号 rd(G) = rvd(L(G)) が成り立つとすれば rd(G) = χ′(G) でなければならないことを証明する。
• 既知の rvd(K_n) の結果を活用し、rd(G) ≤ rvd(L(G)) の不等式における等号成立の必要条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連結グラフ G のレインボー非接続数 rd(G) に対するタイトな上界は何か？
• RQ2 Nordhaus-Gaddum 型の結果における上界に達するグラフはどれか？
• RQ3 予想 rd(G) ≤ λ⁺(G) + 1 はすべての連結グラフに対して成り立つか？ また、どのグラフクラスでそれが証明されたか？
• RQ4 レインボー非接続数 rd(G) と線グラフ L(G) のレインボー頂点非接続数 rvd(L(G)) の関係は何か？
• RQ5 等号 rd(G) = rvd(L(G)) が成り立つ条件は何か？

主な発見

• 本稿は、多くのグラフクラスに対して rd(G) ≤ λ⁺(G) + 1 が成り立つことを示し、この不等式が普遍的に成り立つという予想を支持した。
• 本稿は、Nordhaus-Gaddum 型の結果における上界に達するグラフを完全に同定した。
• 任意の連結グラフ G に対して rd(G) ≤ rvd(L(G)) が成り立つことを証明し、エッジと頂点のレインボー非接続数の間の直接的な関係を確立した。
• δ(G) ≥ 4 のもとで、等号 rd(G) = rvd(L(G)) が成り立つのは rd(G) = χ′(G) のときのみである。
• χ′(G) ≤ rd(G) が成り立ち、δ(G) ≥ 4 のもとで rd(G) = rvd(L(G)) が成り立つためには等号が必要である。
• n ≥ 4 の完全グラフ Kn に対して rvd(Kn) = n であり、この結果を用いて rd(G) ≤ rvd(L(G)) の不等式における等号成立の必要条件を導出した。