[論文レビュー] Bounds on Codes with Locality and Availability

S. B. Balaji, P. Vijay Kumar|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2016

Advanced Data Storage Technologies参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、直交する行のサポートを持つパリティ検査行列を用いて定義される厳密な $t$-可用性を持つコードの、レートおよび最小距離に関するより緊密な上限を提示する。$t=3$ に対しては貪欲アルゴリズムを導入し、一般の $t$ に対しては行列転置に基づく手法を提案し、先行研究よりも改善されたレート上限を達成する。さらに、$rac{r}{r+t}$ を超えるレートを達成する2つの一般化された二進コード構成法を提案し、分散ストレージシステムへの応用を示す。

ABSTRACT

In this paper we investigate bounds on rate and minimum distance of codes with $t$ availability. We present bounds on minimum distance of a code with $t$ availability that are tighter than existing bounds. For bounds on rate of a code with $t$ availability, we restrict ourselves to a sub-class of codes with $t$ availability called codes with strict $t$ availability and derive a tighter rate bound. Codes with strict $t$ availability can be defined as the null space of an $(m imes n)$ parity-check matrix $H$, where each row has weight $(r+1)$ and each column has weight $t$, with intersection between support of any two rows atmost one. We also present two general constructions for codes with $t$ availability.

研究の動機と目的

• 厳密な $t$-可用性を持つコードのレートおよび最小距離に関するより緊密な上限を導出すること、特にそのクラスに焦点を当てる。
• パリティ検査行列の構造的性質とその転置を活用することで、$(n,k,r,t)_{sa}$ コードの既存のレート上限を改善すること。
• $\frac{r}{r+t}$ の境界を上回るレートを達成する、$t$-可用性を持つ一般化された二進コードの構成法を開発すること。
• 直交配列およびラテン平方を用いて、厳密な $t$-可用性と最適な局所性を持つコードを構成する役割を調査すること。
• 従来の文献よりも優れた結果を示す、体サイズ依存および体サイズ非依存の最小距離の上限を導出すること。

提案手法

• 重複が最小限となるパリティ検査行を反復的に選択することで、$(n,k,r,3)_{sa}$ コードのレートを上限付けるための貪欲アルゴリズムを提案する。
• パリティ検査行列のランクとその転置を用いて、一般の $(n,k,r,t)_{sa}$ コードのレート上限を導出する。サポートの直交性を活用する。
• 直交ラテン平方と集合の分割に基づく再帰的構成法を導入し、厳密な $t$-可用性を持つコードを構築する。
• 各関数 $f_i: X \to Y$ が有限な逆像サイズと対ごとの交差制約を満たすように定義し、$\mathbb{F}_2$ 上のパリティ検査行列を構成する。
• 有限幾何学の関係構造（例：$\mathbb{F}_{q^g}$ 上の直線と点）を用いて、$r+1 = q = p^m$ の場合に構成を具体化する。
• 情報記号の可用性を可能にする形で、$[I \mid H]$ の形をしたパリティ検査行列を構築する。分散ストレージ環境に適用可能。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 厳密な $t$-可用性を持つコードのレートを、既存の結果よりもより緊密に上限付ける方法は何か？
• RQ2 $t$-可用性を持つコードの最小距離は何か？ また、体サイズに依存しない形でどのように上限を付けることができるか？
• RQ3 $t$-可用性コードの構成法は、既知の $\frac{r}{r+t}$ の境界を上回るレートを達成できるか？
• RQ4 直交ラテン平方と組合せデザインは、厳密な $t$-可用性を持つコードの構成にどのように寄与するか？
• RQ5 局所性と可用性の性質を保ちながら、$t$-可用性を持つ二進コードを体系的に構築する方法は何か？

主な発見

• 貪欲アルゴリズムを用いて、$(n,k,r,3)_{sa}$ コードのより緊密なレート上限を導出。[14] の結果を改善する。
• 一般の $t$ に対して、パリティ検査行列の転置を用いた新しいレート上限を導出。厳密な $t$-可用性コードでは、[14] の結果よりも緊密である。
• 体サイズ依存および体サイズ非依存の最小距離の上限を導出し、両方とも [14] や [18] の結果を上回る。
• 直交ラテン平方に基づく再帰的構成法により、$T(n) \geq f(r+1) \cdot T(n/(r+1))$ の分割が、必要な交差性質を満たす。
• $r+1 = q = p^m$ の場合、既知の関係に基づくコードと一致するが、[1] の構成法よりも高いレートを達成する。
• 線形関数 $f_i(\mathbf{x}) = A_i\mathbf{x}$ を用いた第二の二進構成法により、$n = q^{n_1}$、$r+1 = q^{n_1 - m_1}$ であり、$m_1=1, n_1=2$ のような特定の状況で $\frac{r}{r+t}$ を超えるレートを達成するコードが得られる。