[論文レビュー] Bounds on eigenstate thermalization

Shoki Sugimoto, Ryusuke Hamazaki+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2023

Quantum many-body systems被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、密度行列の微小変動がそのマイクロカノニカル平均からどれほど離れるかを分析することにより、量子多体系における固有状態熱平衡化（ETH）の厳密な境界を確立する。ハア測度による平均化と濃縮現象の技術を用いて、これらの変動の2次モーメントのタイトな上界および下界を導出し、典型的な偏差が $ \mathcal{O}(\sqrt{\log d_{E,\Delta E}/D}) $ のスケーリングを示す。これは、Dが大きい極限において固有状態熱平衡化仮説が成立することを確認する。

ABSTRACT

The eigenstate thermalization hypothesis (ETH), which asserts that every eigenstate of a many-body quantum system is indistinguishable from a thermal ensemble, plays a pivotal role in understanding thermalization of isolated quantum systems. Yet, no evidence has been obtained as to whether the ETH holds for all few-body operators in a chaotic system; such few-body operators include key quantities in statistical mechanics, such as the total magnetization, the momentum distributions, and their low-order thermal and quantum fluctuations. Here, we formulate a conjecture that for a generic nonintegrable system the ETH holds for all $m$-body operators with $m < α_{\ast} N$ in the thermodynamic limit for some nonzero constant $α_{\ast} > 0$. We first prove this statement for systems with Haar-distributed energy eigenstates to analytically motivate our conjecture. We then verify the conjecture for generic spin, Bose, and Fermi systems with local and few-body interactions by large-scale numerical calculations. Our results imply that generic systems satisfy the ETH for all few-body operators, including their thermal and quantum fluctuations.

研究の動機と目的

• 量子系における固有状態密度行列とそのマイクロカノニカル平均との間の偏差の典型的な大きさを厳密に定量化すること。
• ランダム行列理論とハア測度による平均化を用いて、これらの偏差の1-ノルムおよび2-ノルムの境界を確立すること。
• 系のスケールDとともに変動が減少することを示すことにより、固有状態熱平衡化仮説（ETH）を確認すること。
• ユニタリ時間発展演算子下での密度行列偏差ノルムの濃縮不等式を導出し、典型的な振る舞いが平均に近いことを保証すること。
• ノルム関数のリプシッツ定数に対するDに依存しない上界を提供することにより、高次元系における濃縮不等式の適用を可能にすること。

提案手法

• ハア測度を用いて、偏差 $ \delta\hat{\rho}_{\alpha\beta} $ の2ノルムの二乗の期待値を計算し、$ \mathbb{E}[\|\vec{X}\|_2^2] = \frac{M-1}{D^2-1}\|\hat{X}_0\|_2^2 $ を得る。
• ハア測度の4次モーメントを適用して、平均二乗偏差を推定し、$ \mathbb{E}[(\|\delta\hat{\rho}_{\alpha\beta}\|_2^{(\mathcal{A})})^2] \in \left[\frac{1}{4}\frac{M}{D^2}, \frac{M}{D^2}\right] $ の境界を得る。
• エネルギー固有状態全体における最大偏差を特徴付けるために、$ \Lambda_p(\hat{H},\mathcal{A}) \coloneqq \max_{|E_\alpha\rangle,|E_\beta\rangle} \|\delta\hat{\rho}_{\alpha\beta}\|_p^{(\mathcal{A})} $ を導入する。
• $ \hat{U} $ に関するユニタリ演算子としての $ \|\delta\hat{\rho}_{\alpha\beta}\|_p^{(\mathcal{A})} $ のリプシッツ連続性を確立し、Dに依存しない上界 $ \eta_n $ をリプシッツ定数に与える。
• 濃縮不等式を適用して、$ \mathbb{E}[(\Lambda_p^{(\hat{H},\mathcal{A})})^n] = \mathbb{E}[(\|\delta\hat{\rho}_{\alpha\beta}\|_p^{(\mathcal{A})})^n] + \mathcal{O}(\sqrt{\log d_{E,\Delta E}/D}) $ を示す。
• ノルム不等式 $ \|\cdot\|_2(A) \leq \|\cdot\|_1(A) \leq D\|\cdot\|_2(A) $ を用いて2-ノルムから1-ノルムへの結果の拡張を行い、$ \mathbb{E}[(\|\delta\hat{\rho}_{\alpha\beta}\|_1^{(\mathcal{A})})^2] \in \left[\frac{1}{4}\frac{M}{D^2}, \frac{M}{D}\right] $ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固有状態密度行列とそのマイクロカノニカル平均との間の偏差の典型的な大きさは何か？
• RQ2 この偏差の1-ノルムおよび2-ノルムは、系のスケールDおよびエネルギー窓次元 $ d_{E,\Delta E} $ に対してどのようにスケーリングするか？
• RQ3 密度行列の変動 $ \delta\hat{\rho}_{\alpha\beta} $ の変動を境界づけることで、固有状態熱平衡化仮説を厳密に支持できるか？
• RQ4 $ \|\delta\hat{\rho}_{\alpha\beta}\|_p^{(\mathcal{A})} $ はユニタリ時間発展演算子 $ \hat{U} $ に関してリプシッツ連続であり、Dに依存しない定数を持つか？
• RQ5 エネルギー固有状態全体における最大偏差 $ \Lambda_p(\hat{H},\mathcal{A}) $ の濃縮行動はいかなるものか？

主な発見

• 偏差の2ノルムの二乗の期待値は、$ \frac{1}{4}\frac{M}{D^2} \leq \mathbb{E}[(\|\delta\hat{\rho}_{\alpha\beta}\|_2^{(\mathcal{A})})^2] \leq \frac{M}{D^2} $ と境界づけられ、$ \mathcal{O}(1/D^2) $ の補正項を除いて成り立つ。
• 1-ノルムの偏差は $ \frac{1}{4}\frac{M}{D^2} \leq \mathbb{E}[(\|\delta\hat{\rho}_{\alpha\beta}\|_1^{(\mathcal{A})})^2] \leq \frac{M}{D} $ を満たし、ノルム不等式に由来するD因子のため、上界が弱いことが示される。
• 最大偏差 $ \Lambda_p(\hat{H},\mathcal{A}) $ はその平均のまわりに濃縮し、期待値の差が高々 $ \mathcal{O}(\sqrt{\log d_{E,\Delta E}/D}) $ である。
• ノルム関数のリプシッツ定数 $ \eta_n $ はDに依存せず、高次元系における濃縮不等式の適用を可能にする。
• 導出された境界により、系のスケールDが大きくなると偏差が減少するため、固有状態熱平衡化が典型的に成立することが確認される。
• 結果 $ \mathbb{E}[(\Lambda_p^{(\hat{H},\mathcal{A})})^n] = \mathbb{E}[(\|\delta\hat{\rho}_{\alpha\beta}\|_p^{(\mathcal{A})})^n] + \mathcal{O}(\sqrt{\log d_{E,\Delta E}/D}) $ により、高次元において典型的な偏差が平均に近いことが示される。