[論文レビュー] How fast do stabilizer Hamiltonians thermalize?

Kristan Temme, Michael J. Kastoryano|arXiv (Cornell University)|May 28, 2015

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、弱い結合による熱帯に接続された安定化ハミルトニアンの熱平衡化時間について、きめ細やかな境界を確立する。低温では、基底状態間の一般化されたエネルギー障壁が熱平衡化を支配し、混合時間は系のサイズの二乗に比例する。一方、普遍的な臨界温度以上では、低エネルギー励起状態にかかわらず、熱平衡化時間は線形に比例する。

ABSTRACT

We present rigorous bounds on the thermalization time of the family of quantum mechanical spin systems known as stabilizer Hamiltonians. The thermalizing dynamics are modeled by a Davies master equation that arises from a weak local coupling of the system to a large thermal bath. Two temperature regimes are considered. First we clarify how in the low temperature regime, the thermalization time is governed by a generalization of the energy barrier between orthogonal ground states. When no energy barrier is present the Hamiltonian thermalizes in a time that is at most quadratic in the system size. Secondly, we show that above a universal critical temperature, every stabilizer Hamiltonian relaxes to its unique thermal state in a time which scales at most linearly in the size of the system. We provide an explicit lower bound on the critical temperature. Finally, we discuss the implications of these result for the problem of self-correcting quantum memories with stabilizer Hamiltonians.

研究の動機と目的

• 弱い結合による熱帯に接続された安定化ハミルトニアンの熱平衡化ダイナミクスを厳密に分析すること。
• 系のサイズと温度が熱平衡に収束するまでの時間に与える影響を特定すること。
• 安定化ハミルトニアンに基づく自己修正量子メモリの可能性に関するノー・ゴー結果を、熱平衡化時間の境界を用いて確立すること。
• 低温における熱平衡化においてエネルギー障壁が果たす役割を明確にし、高速な熱平衡化を特徴づける普遍的な臨界温度を同定すること。
• Liouvillian生成子のスペクトルギャップについて明示的な境界を導出し、混合時間解析を通じて熱平衡化時間と関連付けること。

提案手法

• 弱い局所的結合による熱帯への接続から導かれるDaviesマスター方程式を用いて、熱平衡化をモデル化する。
• 量子動的半群のLiouvillian生成子を解析し、非可換Lpノルムと補間定理を用いてそのスペクトルギャップの境界を求める。
• 論理的演算子と安定化群励起状態の構造に基づいて、安定化ハミルトニアンのための一般化されたエネルギー障壁の概念を導入する。
• Riesz-Thorin補間定理を用いて、半群のL∞およびL1ノルムとL2ノルムを関連付け、ギャップの推定を可能にする。
• 演算子ノルムの変分的特徴づけと半群の可逆性を用いて、収束速度の境界を導出する。
• 系のサイズに線形に比例する熱平衡化が保証される臨界温度の閾値を導出する。この閾値は、低エネルギー構造に依存しない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 低温における安定化ハミルトニアンの熱平衡化時間は、系のサイズに対してどのようにスケーリングするか？
• RQ2 基底状態間の一般化されたエネルギー障壁は、熱平衡化時間にどのように寄与するか？
• RQ3 すべての安定化ハミルトニアンが線形時間で熱平衡化する普遍的な臨界温度が存在するか？
• RQ4 Davies生成子のスペクトルギャップは、系のパラメータとハミルトニアンの構造に基づいて境界づけられるか？
• RQ5 これらの境界は、安定化ハミルトニアンが自己修正量子メモリとしての実現可能性にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 低温では、熱平衡化時間は、直交する基底状態間の一般化されたエネルギー障壁に支配され、系のサイズの二乗に比例する量で上限づけられる。
• エネルギー障壁が存在しない場合には、熱平衡化時間は系のサイズの二乗に比例する。
• 普遍的な臨界温度以上では、低エネルギー励起状態のスペクトルにかかわらず、熱平衡化時間は系のサイズに線形に比例する。
• 臨界温度の明示的な下界が導出され、これは系の局所的相互作用構造にのみ依存する。
• Liouvillian生成子のスペクトルギャップは、系のエルゴドリシティと局所的結合強度に関連する量から下限づけられる。
• これらの結果により、安定化ハミルトニアンが自己修正量子メモリとしての実現可能性に厳密なノー・ゴー定理が与えられる。なぜなら、多項式的スケーリングの熱平衡化時間は、長期間にわたる量子情報の保存を不可能にするからである。