[論文レビュー] Bousfield Localization and Eilenberg-Moore Categories

Michael Batanin, David White|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、モノイダルモデル圏におけるモナドの代数を保存する左ボウスフィールド局在化が成り立つための5つの条件の同値性を確立する。弱い仮定のもとで、局在化を代数へと持ち上げること、局所同型を保存すること、半モデル構造を転送することのすべてが同値であることを証明し、先行研究の異なる手法を統合し、色付きオペラッド、スペクトラ、チェーン複体の局在化代数のホモトピー論を体系的に研究するための包括的枠組みを提供する。

ABSTRACT

We prove the equivalence of several hypotheses that have appeared recently in the literature for studying left Bousfield localization and algebras over a monad. We find conditions so that there is a model structure for local algebras, so that localization preserves algebras, and so that localization lifts to the level of algebras. We include examples coming from the theory of colored operads, and applications to spaces, spectra, and chain complexes.

研究の動機と目的

• 左ボウスフィールド局在化がモナド上の代数的構造を保存する条件について、文献に散在する異なる手法を統一すること。
• 局在化がモナドの代数の圏へと持ち上がるための必要十分条件を特定すること。
• 局在化が代数を保存すること、半モデル構造を転送すること、局所同型を保存することの関係を明確にすること。
• 空間、スペクトラ、チェーン複体、色付きオペラッドに適用可能な一般枠組みを提供すること。
• 半モデル圏の文脈において、5つの主要なホモトピー的条件の包括的同値性を確立すること。

提案手法

• 局在化に用いる写像の集合 $\mathcal{C}$ を持つモノイダルモデル圏 $\mathcal{M}$ とモナド $T$ の設定を形式化する。
• 完全なモデル構造が存在しない場合（特にオペラッドの代数において）を扱うために、半モデル圏の文脈で作業する。
• $\mathrm{Alg}_T(\mathcal{M})$ における転送された半モデル構造を基礎的仮定として用いる。
• $L_{\mathcal{C}}(\mathcal{M})$ を左ボウスフィールド局在化とし、それが存在すると仮定して、$T$-代数との相互作用を分析する。
• 以下5つの条件の同値性を確立する：(1) $L_{\mathcal{C}}$ が $\mathrm{Alg}_T(\mathcal{M})$ 上の $L_{T(\mathcal{C})}$ に持ち上がる、(2) $U$ が局所同型を保存する、(3) $\mathrm{Alg}_T(L_{\mathcal{C}}(\mathcal{M}))$ が転送された半モデル構造を備える、(4) $L_{\mathcal{C}}$ が $T$-代数を保存する、(5) $T$ がコボルケント対象間の $\mathcal{C}$-局所同型を保存する。
• 部分的な逆を証明する：もし (5) が成り立ち、$T$ が弱い仮定を満たしていれば、$U$ は局所弱同型を反映する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 左ボウスフィールド局在化がモナド上の代数をいつ保存するか？
• RQ2 局在化がベース圏から $T$-代数の圏へといつ持ち上がるか？
• RQ3 局在化された圏におけるモナド上の代数の圏がいつ転送された半モデル構造を備えるか？
• RQ4 忘却関手による局所同型の保存と局在化の持ち上げの関係は何か？
• RQ5 モナドがコボルケント対象間の $\mathcal{C}$-局所同型を保存するならば、忘却関手について何が言えるか？

主な発見

• 提示された仮定のもとで、局在化を代数へ持ち上げること、局所同型を保存すること、半モデル構造を転送すること、$T$-代数を保存すること、およびモナドがコボルケント対象間の局所同型を保存することの5つの条件はすべて同値である。
• 忘却関手 $U: \mathrm{Alg}_T(\mathcal{M}) \to \mathcal{M}$ が局所同型を保存するための必要十分条件は、$L_{\mathcal{C}}$ が $\mathrm{Alg}_T(\mathcal{M})$ 上の局在化に持ち上がるということである。
• もし $\mathrm{Alg}_T(L_{\mathcal{C}}(\mathcal{M}))$ が転送された半モデル構造を備えるならば、$L_{\mathcal{C}}$ は $T$-代数を保存する。
• 他の条件のいずれかが成り立つならば、モナド $T$ はコボルケント対象間の $\mathcal{C}$-局所同型を保存する。
• もし $T$ がコボルケント対象間の $\mathcal{C}$-局所同型を保存し、弱い仮定を満たしていれば、忘却関手 $U$ は局所弱同型を反映する。
• 結果は、空間、スペクトラ、チェーン複体、および色付きオペラッドの代数、特に $\Sigma$-コボルケントまたは各成分がコボルケントなオペラッドから得られる例に広く適用可能である。