[論文レビュー] Right Bousfield Localization and Operadic Algebras

David White, Donald Yau|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 41被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、モノイダルモデル圏における右ボウスフィールド局在が、色付きオペラッドによって符号化された代数的構造を保存する一般条件を確立する。局在がモノイダルであり、オペラッドが各成分ごとに局在化可能であるならば、オペラッド上の代数の上の誘導されたモデル構造が存在し、局在のもとで保存されることを証明する。これにより、古典的な結果が回復され、位相空間、チェーン複体、等変カテゴリ、および小さなカテゴリにおいて、新しい保存定理が得られる。

ABSTRACT

It is well known that under some general conditions right Bousfield localization exists. We provide general conditions under which right Bousfield localization yields a monoidal model category. Then we address the questions of when this monoidal model structure on a right Bousfield localization induces a model structure on the category of algebras over a colored operad and when a right Bousfield localization preserves colored operadic algebras. We give numerous applications, to topological spaces, equivariant spaces, chain complexes, stable module categories, and to the category of small categories. We recover a wide range of classical results as special cases of our theory, and prove several new preservation results.

研究の動機と目的

• モノイダルモデル圏における右ボウスフィールド局在が、色付きオペラッド上の代数の構造を保存する条件を特定すること。
• 局在化された圏がオペラディック代数と整合するモノイダルモデル構造を備えるための十分条件を確立すること。
• 各成分が局在化可能な色付きオペラッドが、局在化された圏におけるその代数のモデル構造を誘導することを証明すること。
• 既知の保存結果を特別な場合として回復し、位相空間、チェーン複体、および小さなカテゴリなどの多様な圏において新しい結果を証明すること。
• 非自明なモノイダル構造と局在化ファンクターを伴う設定へ、オペラディック代数の理論を拡張すること。

提案手法

• 局在化されたモデル構造でプッシュアウト積公理が成り立つことを保証する、モノイダル右ボウスフィールド局在の概念を導入する。
• モノイダル公理と可換モノイド公理に依存する、色付きオペラッド上の圏における代数の転送モデル構造および半モデル構造を用いる。
• 各成分が局在化集合 K に関して局在化可能な成分ごとの局在化色付きオペラッドの理論を適用する。
• [BR14] および [SS00] の結果を活用して、局在化された圏でモノイダル公理が成り立つことを確認する。これは、結合的および可換オペラッドに対して有効である。
• すべての対象が双ファイブレーションであるという事実を用いて、Cat などの圏におけるバラット＝エクルズおよび A∞-オペラッドなどのオペラッド上の代数のモデル構造を構成する。
• 右ボウスフィールド局在の普遍性を用いて、K-局在化同値を保存するファンクターが局在化を通して因数分解できることを保証し、保存結果の導出を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 右ボウスフィールド局在が、色付きオペラッド上の代数のモデル構造を保存するのはどのような条件下か？
• RQ2 モノイダルモデル圏の右ボウスフィールド局在が、モノイダル性を保つのはいつか？
• RQ3 どの色付きオペラッドが、その代数が局在化のもとで保存されることを保証するのか、特にオペラッドが各成分ごとに局在化可能である場合に注目する。
• RQ4 小さなカテゴリ、等変空間、安定モジュール圏などの圏において、オペラディック代数の理論をどのように局在化の下で拡張できるか？
• RQ5 トポロジカル空間のセルラライゼーションやチェーン複体上のインジェクティブモデル構造といった古典的結果が、この枠組みによって回復され、一般化可能か？

主な発見

• 右ボウスフィールド局在が色付きオペラッド上の代数を保存するのは、オペラッドが局在化集合 K に関して各成分ごとに局在化可能である場合に限る。
• 元の圏がモノイダル公理を満たし、局在化がプッシュアウト積条件を保存するならば、局在化された圏はモノイダルモデル構造を引き継ぐ。
• 結合的オペラッドに対しては、[BR14] および [SS00] の結果により、局在化された圏でモノイダル公理が成り立つため、結合的代数のモデル構造が保証される。
• 可換オペラッドに対しては、[Whi14a] で示されたように、可換モノイド公理と局在化された圏におけるモノイダル公理により、保存が成立する。
• 小さなカテゴリの圏では、すべての対象が双ファイブレーションであるため、オペラディック代数の半モデル構造は完全なモデル構造と一致し、構成が簡略化される。
• 安定モジュール圏や等変ホモトピー理論への応用では、生成集合 K がモノイダル演算に関して適切に閉じている場合、局在化が可換および結合的モノイドを保存することが示される。