[論文レビュー] Bowen factors, their degree, and codings of surface diffeomorphisms

Jérôme Buzzi|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、O. Sarig が構築した表面微分同相写像の記号的有限対一拡張が、ボーゲン性質と次数論を用いて、大きな不変集合上でホルダー連続な同相写像を誘導することを確立している。場合によってはトランジティビティを保つ。Sarigの周期点に関する下界を改善し、すべての非周期的双曲測度に対してホルダー連続な符号化を許容する表面微分同相写像を特徴づけている。

ABSTRACT

We show that symbolic finite-to-one extensions of the type constructed by O. Sarig for surface diffeomorphisms induce H\older-continuous conjugacies on large sets, sometimes preserving transitivity. We deduce this from their Bowen property. This notion, introduced in a joint work with M. Boyle, generalizes a fact first observed by R. Bowen for Markov partitions. We use the notion of degree from finite equivalence theory and magic word isomorphisms. As an application, we improve Sarig's lower bound on the number of periodic points for surface diffeomorphisms. Finally we characterize surface diffeomorphisms admitting a H\older-continuous coding of all their aperiodic hyperbolic measures.

研究の動機と目的

• 記号的有限対一拡張の動的的意味を理解すること、特にその正則性と構造的保存性について。
• ボーゲン性質の概念を用いて、マークフ・パーティションの古典的結果をより広範な記号的拡張フレームワークに一般化すること。
• 有限同値理論とマジックワード同型を用いて、表面微分同相写像における周期点の数の下界を改善すること。
• すべての非周期的双曲測度に対してホルダー連続な符号化を許容する表面微分同相写像を特徴づけること。

提案手法

• ボーゲン性質（元々マークフ・パーティションに用いられ、ここでは記号的有限対一拡張へ拡張）を用いて、大きな不変集合上でホルダー連続な同相写像を確立する。
• 有限同値理論からの次数の概念を用いて、記号的拡張の構造と多重度を分析する。
• マジックワード同型を用いて、記号的拡張と元の力学系の間の関係を結びつけ、同相写像の構成を容易にする。
• ボーゲン性質と次数の相互作用を用いて、周期点の増加に関する定量的評価を導出する。
• 拡張の構造的および正則性条件を用いて、非周期的双曲測度に対するホルダー連続な符号化の存在を特徴づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 表面微分同相写像の記号的有限対一拡張が、大きな不変集合上でホルダー連続な同相写像を誘導する条件は何か？
• RQ2 記号的拡張におけるボーゲン性質は、双曲力学におけるマークフ・パーティションの古典的結果をどのように一般化するか？
• RQ3 次数論とマジックワード同型を用いて、Sarigの周期点の数に関する下界をどの程度改善できるか？
• RQ4 どの表面微分同相写像がすべての非周期的双曲測度に対してホルダー連続な符号化を許容するか？また、それらを特徴づける要件は何か？

主な発見

• 表面微分同相写像の記号的有限対一拡張は、大きな不変集合上でホルダー連続な同相写像を誘導し、特定の状況ではトランジティビティを保つ。
• このような拡張におけるボーゲン性質は、R. ボーゲンのマークフ・パーティションに関する古典的結果を一般化し、より広範な記号的系への適用可能性を拡張する。
• 次数論とマジックワード同型を用いて、この論文はSarigの表面微分同相写像における周期点の数に関する下界を改善している。
• すべての非周期的双曲測度に対してホルダー連続な符号化を許容する表面微分同相写像について、拡張構造と正則性に基づいて完全な特徴づけが得られている。