[論文レビュー] BPS invariants of N=4 gauge theory on a surface

Jan Manschot|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 20被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、$υ=4$ $U(r)$ゲージ理論のヒルツェブルフ面 $Σ_\ell$ におけるBPS不変量の母関数を $r \leq 3$ に対して計算し、ランク2の不変量を高レベルのアペル関数で表現し、非正則項を加えることでモジュラー性を達成する。主な新規結果として、ランク2の場合の正則異常方程式に $R_2$ と呼ばれる新たな項を同定した。この項は $J = -K_\ell$ のような特定の極化に対して消えることから、超対称ゲージ理論におけるBPS状態のモジュラー構造についてより深い洞察が得られる。

ABSTRACT

Generating functions of BPS invariants for N=4 U(r) gauge theory on a Hirzebruch surface with r=2 and 3 are computed. The BPS invariants provide the Betti numbers of moduli spaces of semi-stable sheaves. The generating functions for r=2 are expressed in terms of higher level Appell functions for a certain polarization of the surface. The level corresponds to the self-intersection of the base curve of the Hirzebruch surface. The non-holomorphic functions are determined, which added to the holomorphic generating functions provide functions which transform as a modular form.

研究の動機と目的

• ヒルツェブルフ面 $Σ_\ell$ における $υ=4$ $U(r)$ ゲージ理論のBPS不変量の母関数を $r \leq 3$ に対して計算し、$r=2$ や $Σ_1$ を超える既存結果を拡張する。
• 特に正則関数がモジュラー形式として変換しないことと、非正則補完が必要なことから、高ランクの層に対するBPS不変量のモジュラー性を理解する。
• 既知の $\mathcal{Z}_1^2$ 項を超えて、熱作用素作用における $R_2(\rho,\tau;\Sigma_\ell,J)$ と呼ばれる新たな項を同定することで、$r=2$ の正則異常構造を明確にする。
• $\Sigma_1$ 上の安定層のモジュライ空間のベッチ数表を $r=3$, $c_1 = -C - \alpha f$, $2 \leq c_2 \leq 6$ に対して明示的に算出し、次元および吹き出し公式との整合性を検証する。

提案手法

• 母関数 $\mathcal{Z}_r(z,\rho,\tau;\Sigma_\ell,J)$ は、不定符号のtheta関数およびレベル $\ell$ のアペル関数を用いて構成され、半安定層のモジュライ空間のベッチ数を符号化する。
• $r=2$ の場合、正則母関数は非正則関数で補完され、$\widehat{\mathcal{Z}}_2$ を形成する。この関数は $SL(2,\mathbb{Z})$ に対してモジュラー形式として変換する。
• 補完はアペル関数 $A_\ell(u,v,\tau)$ 及びその補完 $\widehat{A}_\ell(u,v,\tau)$ を用いて導出され、関数 $R(u,\tau)$ およびtheta関数を含む。
• 正則異常は熱作用素 $D_2$ を用いて分析され、$\widehat{\mathcal{Z}}_2$ に作用させると $D_2\widehat{\mathcal{Z}}_2 = C_2(\mathrm{Im}\,\tau,J)\mathcal{Z}_1^2 + R_2(\rho,\tau;\Sigma_\ell,J)$ を得る。ここで $R_2$ は新たな寄与項である。
• $r=3$ の場合、正則母関数 $\mathcal{Z}_3$ が構成され、そのモジュラー性が分析されるが、完全なモジュラー性は今後の研究に延期される。
• 壁交叉および吹き出し公式を用いて、$\Sigma_1$ 上で $r=3$, $c_1 = -C - \alpha f$, $\alpha = 0,1,2$, $2 \leq c_2 \leq 6$ の場合の明示的なベッチ数およびオイラー特性が計算され、表形式で提示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルツェブルフ面 $\Sigma_\ell$ 上の $\mathcal{N}=4$ $U(r)$ ゲージ理論のBPS不変量は、$r=3$ の場合どのように振る舞うか。これは既知の $r=2$ や $r=1$ の場合を拡張する。
• RQ2 $\Sigma_\ell$ 上の $r=2$ における正則異常の構造は何か。また、既知の $\mathcal{Z}_1^2$ 項を超えて新たな項を含むか。
• RQ3 生成関数の非正則補完は、物理的経路積分から予想されるように、極化 $J$ に関して連続性を保証するか。
• RQ4 $\Sigma_1$ 上の $r=3$ で $c_1$, $c_2$ を変化させた安定層のモジュライ空間のベッチ数は、吹き出し公式および対称性の性質とどのように関係するか。
• RQ5 正則異常項 $R_2$ の消える条件としての canonical class $-K_\ell$ の役割は何か。

主な発見

• ランク2の $\Sigma_\ell$ 上の母関数は、レベル $\ell$ の高レベルアペル関数で表現され、これは基本曲線の自己自己交叉に対応する。
• 非正則補完 $\widehat{\mathcal{Z}}_2$ はモジュラー形式として変換し、正則関数単体ではモジュラーでないが、補完項のおかげでモジュラー不変性が保たれる。
• 正則異常方程式 $D_2\widehat{\mathcal{Z}}_2 = C_2(\mathrm{Im}\,\tau,J)\mathcal{Z}_1^2 + R_2$ に、文献に未発表の新たな項 $R_2(\rho,\tau;\Sigma_\ell,J)$ が現れる。
• $J = -K\ell$ のとき、$R_2$ 項は消えるが、この極化は $\ell > 2$ の場合に通常のコーンに属さないため、物理的意味は限定的である。
• $r=3$ の場合、正則母関数 $\mathcal{Z}_3$ が構成され、そのモジュラー性は $r=2$ よりもより複雑であることが判明し、完全な解析は今後の研究に延期される。
• 表1～3は、$\Sigma_1$ 上の $r=3$, $c_1 = -C - \alpha f$, $2 \leq c_2 \leq 6$ の安定層のモジュライ空間の明示的なベッチ数およびオイラー特性を提示する。たとえば $c_1 = -C$, $c_2 = 5$ のとき $\chi = 20891$ となるが、これは期待される次元および対称性と整合的である。