[論文レビュー] BPS Partition Functions for Quiver Gauge Theories: Counting Fermionic Operators

Davide Forcella|arXiv (Cornell University)|May 21, 2007

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 30被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、$\mathcal{N}=1$ 量力学的クイバーゲージ理論のチャイナルリングにスカラーおよびフェルミオン（ワイルスピンル）自由度を含めることで、完全な$\frac{1}{2}$ BPS 分割関数を体系的に計算する手法を提示する。ボソンとフェルミオンの混合統計を扱うために一般化されたプレシスティック指数を導入し、すべてのグローバル対称性に charges を持つゲージ不変演算子の正確な数え上げを可能にした。コンパクト理論に対して明示的な結果を示し、場の理論の期待と整合していることを確認した。

ABSTRACT

We discuss a general procedure to obtain 1/2 BPS partition functions for generic N=1 quiver gauge theories. These functions count the gauge invariant operators (bosonic and fermionic), charged under all the global symmetries (mesonic and baryonic), in the chiral ring of a given quiver gauge theory. In particular we discuss the inclusion of the spinor degrees of freedom in the partition functions.

研究の動機と目的

• $\mathcal{N}=1$ クイバーゲージ理論のチャイナルリングにスカラーおよびフェルミオン（ワイルスピンル）自由度を含む$\frac{1}{2}$ BPS 分割関数を計算する一般的手順を開発すること。
• 従来、スカラーのメソン的およびバリオン的演算子に限られていた生成関数技術を、$\frac{1}{2}$ BPS 状態の全スペクトルに拡張すること。
• すべての$U(1)$ グローバル対称性（メソン的、バリオン的、R対称性を含む）に charges を持つゲージ不変演算子の統一的枠組みを提供すること。
• 1つの生成関数に全BPSスペクトルを符号化することで、強い結合CFTの統計的および熱力学的解析を可能にすること。

提案手法

• チャイナルリングにおけるスカラーおよびスピンル超場を統一的に扱う超場形式を導入し、演算子数え上げにおいて同等に扱えるようにする。
• ボソン的およびフェルミオン的演算子の異なるボーズ＝アインシュタイン統計とフェルミ＝ディラック統計を扱うために、一般化されたプレシスティック指数$PE^{\mathcal{B}}[g_1^{\mathcal{B}}] \cdot PE^{\mathcal{F}}[g_1^{\mathcal{F}}]$ を定義する。
• スカラー部分のチャイナルリングから$N=1$ 生成関数$g_1(\{t_i\})$ を構築し、フェルミオン的プレシスティック指数を用いて$W_\alpha^i$ 項を拡張する。
• すべての$U(1)$ グローバル対称性（メソン的、バリオン的、R対称性）の電荷を表すために化学ポテンシャル$t_i$ を用いる。
• コンパクト理論にこの形式を適用し、$t_i$ および$w$ 変数（スピンルフェューガシティ）の低次の項における演算子数を明示的に計算する。
• 既知の場の理論の結果（例えば、特定のR荷重およびバリオン数における独立な演算子の数）と比較することで、得られた分割関数の整合性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フェルミオン自由度（ワイルスピンル）を含めた場合、$\mathcal{N}=1$ クイバーゲージ理論の$\frac{1}{2}$ BPS スペクトルをどのように体系的に数え上げることができるか？
• RQ2 チャイナルリングにおけるボソン的およびフェルミオン的ゲージ不変演算子の混合統計を扱うために正しい数学的形式は何か？
• RQ3 一般化されたプレシスティック指数を用いて、$N=1$ の場合から$N$ 重の分割関数を、スカラーおよびスピンル場を含めて構築できるか？
• RQ4 $W_\alpha^i$ 項の導入が、コンパクト理論におけるメソン的およびバリオン的チャイナルリングの構造にどのように影響を与えるか？
• RQ5 $SU(N)$ コンパクトゲージ理論における、化学ポテンシャルおよびスピンルフェューガシティの低次の項における正確な演算子数は何か？

主な発見

• 一般化されたプレシスティック指数は、ボソン的およびフェルミオン的演算子の混合統計を正確に符号化でき、チャイナルリング内のゲージ不変状態の正確な数え上げを可能にした。
• コンパクト理論において、$N=1$ 分割関数は、$t_1^2 t_2^2 w^4$ の次数で16 + 16 + 9 + 9 + 9 + 9 = 68 個の演算子を含み、これは$W_\alpha W^\alpha$ および$W_\alpha$ 項のトレースに対応する。
• $t_1^2 t_2^2$ の次数では、生成関数が$(W_\alpha W^\alpha A_i B_j)^2$ および$\mathrm{Tr}(W_\alpha W^\alpha) \mathrm{Tr}(A_i B_j A_k B_\rho)$ から10 + 9 = 19 個の演算子を生成し、場の理論の結果と整合していることを確認した。
• $t_1^2 t_2^2 \left(15 \frac{w^2}{\alpha^2} + 15 w^2 \alpha^2 \right)$ 項は、$W_\alpha$ および$W_\alpha W^\alpha$ トレースを含む9 + 6 + 9 + 6 = 30 個の演算子に対応する。
• $t_1^2 t_2^2 \left(34 \frac{w}{\alpha} + 34 w \alpha \right)$ 項は、$\mathrm{Tr}(W_\alpha A_i B_j A_k B_\rho)$、$\mathrm{Tr}(W_\alpha A_i B_j) \mathrm{Tr}(A_k B_\rho)$、および$\mathrm{Tr}(W_\alpha) \mathrm{Tr}(A_i B_j A_k B_\rho)$ から来る9 + 16 + 9 = 34 個の演算子を説明する。
• 全生成関数は、コンパクト理論の既知の演算子スペクトルを正確に再現し、この手法が既存の場の理論の結果と整合していることを検証した。