[論文レビュー] Braided $L_{\infty}$-Algebras, Braided Field Theory and Noncommutative Gravity

Marija Dimitrijević Ćirić, Grigorios Giotopoulos+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2021

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 57被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ドリンフェルトのねじれによる量子化を用いて、非可換ゲージ対称性を有する場の理論を体系的に構成するための新しいホモトピー代数的構造として、からませた $L_{u}$-代数を導入する。主な貢献は、3次元および4次元時空におけるからませたEinstein–Cartan–Palatini重力のバージョンであり、これは非変形極限において古典的重力に還元され、解の空間に作用しないゲージ対称性を有し、からませた共変ダイナミクスの下で閉じた変形された作用関数を特徴としている。

ABSTRACT

We define a new homotopy algebraic structure, that we call a braided $L_\infty$-algebra, and use it to systematically construct a new class of noncommutative field theories, that we call braided field theories. Braided field theories have gauge symmetries which realize a braided Lie algebra, whose Noether identities are inhomogeneous extensions of the classical identities, and which do not act on the solutions of the field equations. We use Drinfel'd twist deformation quantization techniques to generate new noncommutative deformations of classical field theories with braided gauge symmetries, which we compare to the more conventional theories with star-gauge symmetries. We apply our formalism to introduce a braided version of general relativity without matter fields in the Einstein-Cartan-Palatini formalism. In the limit of vanishing deformation parameter, the braided theory of noncommutative gravity reduces to classical gravity without any extensions.

研究の動機と目的

• 解の空間に作用しない対称性を有する非可換ゲージ理論のための新しい代数的枠組みを構築すること。
• 非可換場の理論における従来のスター・ゲージ対称性の限界を克服し、ゲージ対称性としてのからませたリー代数を導入すること。
• からませた $L_{\infty}$-代数を用いて、Einstein–Cartan–Palatini形式における一般相対性理論の整合的な非可換変形を構築すること。
• 得られる場の理論がからませたゲージ変換に関して共変であり、変形されたネーターの恒等式の下で閉じていることを保証すること。
• からませた重力作用関数が、変形パラメータがゼロに近づく極限で、古典的Einstein–Cartan–Palatini作用関数に還元されることを示すこと。

提案手法

• 著者らは、からませたテンソルカテゴリにおける標準的 $L_{\infty}$-代数のドリンフェルトのねじれ変形として、からませた $L_{\infty}$-代数を定義する。
• ドリンフェルトのねじれ形式を用いて、古典的場の理論を変形し、元の $L_{\infty}$-代数構造を保存するとともに、非可換スター積を導入する。
• ゲージ対称性は、古典的恒等式の非同次拡張であるからませたリー代数として実現され、ネーターの恒等式がその形をとる。
• 変形された代数上の循環構造を用いて作用関数を構成し、からませたゲージ変換の下での不変性を保証する。
• 形式的枠組みをEinstein–Cartan–Palatini重力に適用し、作用関数を変形された微分計算におけるスター積および共変微分を用いて表現する。
• 明示的な計算により、変形された作用関数が、個々の項が別々に共変でない場合でも、からませた $\mathfrak{so}(4)$ ゲージ変換の下で不変であることが確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解の空間に作用しないゲージ対称性を有する非可換場の理論を体系的に構成するには、どのような方法があるか？
• RQ2 非可換場の理論におけるからませたゲージ対称性を整理するのに適したホモトピー代数的構造は何か？
• RQ3 非可換変形された一般相対性理論を、非変形極限で古典的重力に還元する整合的な構成が可能か？
• RQ4 からませたゲージ対称性は、変換性質およびネーターの恒等式の観点から、従来のスター・ゲージ対称性とどのように異なるか？
• RQ5 3次元および4次元時空におけるからませたEinstein–Cartan–Palatini作用関数の明示的形は何か？

主な発見

• からませた $L_{\infty}$-代数構造は、標準的 $L_{\infty}$-代数のドリンフェルトのねじれ変形として定義され、からませたカテゴリにおけるホモトピージャコビ恒等式を保存する。
• 得られるからませた場の理論は、からませたリー代数としてのゲージ対称性を有し、古典的恒等式の非同次拡張であるネーターの恒等式を持つ。
• 4次元のからませたEinstein–Cartan–Palatini作用関数は、$ S_{\star}(e,\omega) = \int_M \mathrm{Tr}\left(\frac{1}{2} e\curlywedge_{\star}e\curlywedge_{\star}R^{\star} + \frac{\Lambda}{4} e\curlywedge_{\star}e\curlywedge_{\star}e\curlywedge_{\star}e\right) - \frac{1}{24}\int_M \mathrm{Tr}\left(\omega\curlywedge_{\star}(\cdots)\right) $ に簡略化され、$\mathcal{R} = 1\otimes 1$ の極限で古典的作用関数に還元される。
• 作用関数はからませた $\mathfrak{so}(4)$ ゲージ変換の下で不変であり、共変でない項は、完全形式の差異を除いて共変な組み合わせを形成する。
• $e$ および $\omega$ に対して作用関数を変分することにより得られる場の運動方程式は、変形された場の運動方程式 $\mathcal{F}_{\omega}^{\star} = 0$ および $\mathcal{F}_{e}^{\star} = 0$ と一致し、整合性が確認される。
• 形式的枠組みにより、適合するねじれの下で、変形された代数上のペアリングが厳密に循環的になることが保証され、$\wedge_{\star}$-循環性を持つ整合的な作用関数の定式化が可能になる。