[論文レビュー] Braided skew monoidal categories

John Bourke, Stephen Lack|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、結合的制約と単位制約が一般に可逆でないスケューモノイダル圏における、三項の可逆自然変換 (AB)C → (AC)B によって定義される、新たなバーティングの概念を導入する。このバーティングは、結合的公理を満たす。また、bialgebra B から得られるスケューモノイダル圏 Vect[B] におけるバーティングは、B におけるコクォーシャトリエンシュラ（coquasitriangular）構造（コブライディング）と一対一対応にあり、2-圏的およびbialgebra的例を共通の枠組みで統一する。

ABSTRACT

We introduce the notion of a braiding on a skew monoidal category, whose curious feature is that the defining isomorphisms involve three objects rather than two. These braidings are shown to arise from, and classify, cobraidings (also known as coquasitriangular structures) on bialgebras. Using a multicategorical approach we also describe examples of braidings on skew monoidal categories arising from 2-category theory.

研究の動機と目的

• 単位制約と結合的制約が一般に可逆でないスケューモノイダル圏の文脈において、古典的なモノイダル圏におけるバーティングの概念を一般化すること。
• スケューモノイダル圏において AB と BA が同型でないという問題を解決するため、バーティングを三つの対象を含む形に再定義すること：(AB)C → (AC)B。
• 2-圏的構造（例：FProd_s）と bialgebra という二つの主要な例クラスを、共通のバーティング枠組みで統一すること。
• bialgebra から導かれるスケューモノイダル圏におけるバーティングと、その bialgebra 自身のコクォーシャトリエンシュラ（コブライディング）構造との正確な対応関係を確立すること。

提案手法

• スケューモノイダル圏におけるバーティングを、可逆な自然変換 s: (AB)C → (AC)B として定義し、五つの結合的公理を満たすものとする。
• 特に、2-圏的例（FProd_s、有限直積を備えた圏の2-圏）をモデル化するために、マルチカテゴリカル・アプローチを用いる。
• バーティングが同型 [A,[B,C]] → [B,[A,C]] を通じて表現される「バーティング付きスケュー閉じた圏」の概念を導入し、古典的な対称閉じた圏の設定を一般化する。
• モノイダルコモナド G がモノイダル圏 C 上に作用するとき、G-コアルゲブラの圏 C^G におけるバーティングと、G によって誘導されるスケューモノイダル圏 C[G] におけるバーティングとの間の対応関係を確立する。
• bialgebra B に対して、スケューモノイダル圏 Vect[B]（X⋆Y = X⊗B⊗Y と定義）におけるバーティングは、B におけるコクォーシャトリエンシュラ（コブライディング）構造と一対一対応にあり、これを証明する。
• バーティング付きスケューマルチカテゴリにおける代表可能性条件を用いて、構造をバーティング付きスケューモノイダル圏へと持ち上げる。これにより、2-圏的設定におけるバーティングの構成が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な二項バーティング AB → BA が構造写像の可逆性に依存するため、スケューモノイダル圏では失敗するが、どのようにしてそのバーティングの概念を一般化できるか？
• RQ2 2-圏的例 FProd_s を捉えるために、(AB)C と (AC)B が同型であるが AB と BA が同型でないという状況を適切に表現する三項一般化のバーティングとは何か？
• RQ3 スケューモノイダル圏から得られるバーティングと、その bialgebra 自身の代数的構造との間に、構造的な対応関係があるか？
• RQ4 マルチカテゴリカル・フレームワークを用いて、2-圏的構成から一貫した方法でバーティング付きスケューモノイダル構造を導出できるか？
• RQ5 モノイダルコモナドのコアルゲブラの圏におけるバーティングと、その誘導されるスケューモノイダル圏におけるバーティングとの正確な関係は何か？

主な発見

• 論文は、bialgebra B から作られるスケューモノイダル圏 Vect[B] におけるバーティングと、B におけるコクォーシャトリエンシュラ（コブライディング）構造との間の双対性を確立し、構造的分類を提供する。
• モノイダル圏 C 上にモノイダルコモナド G が作用するとき、G-コアルゲブラの圏 C^G におけるバーティングと、G によって誘導されるスケューモノイダル圏 C[G] におけるバーティングとの間には一対一対応が存在する。
• 2-圏的例 FProd_s は、バーティング付きスケューモノイダル構造を備えており、これはバーティング付きスケューマルチカテゴリにおける代表可能性条件から生じる。これにより、マルチカテゴリカル・アプローチの有効性が示された。
• 提案されたスケューモノイダル圏におけるバーティングの定義は、古典的なバーティングを一般化する：もしあるスケューモノイダル構造が実際にモノイダル（すべての構造写像が可逆）であれば、新しい定義は標準的なバーティングに還元される。
• 2-圏的設定におけるバーティングの構成が、FProd のモノイダル2-圏構造と整合していることが示され、FProd_s におけるスケューモノイダル構造が、完全なモノイダル2-圏構造を符号化していることが明らかになった。
• バーティングの公理が、与えられたマルチカテゴリカル・フレームワーク内での合成則に関して一貫しており、内部的結合的性質を保証することが証明された。