[論文レビュー] Braids, knots and contact structures

Joan S. Birman|ArXiv.org|Mar 28, 2004

Geometric and Algebraic Topology参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、バーティカル化とフライプテンプレートに基づく位相的障害を用いて、同一の位相的 knot 型と同一の Bennequin 不変量を持つ、区別の可能な横断的 knot 型が R³ に存在することを確立する。閉じた 3-ブレイドの分析にネガティブ・フライプテンプレートを適用し、Eliashberg の位相型拡張定理を適用することで、特定のブレイドが重要な不変量を共有しているにもかかわらず、横断的位相型によって関係付けられることはできないことが証明され、横断的 Markov 定理が一般に成り立たないことを示している。

ABSTRACT

These notes were prepared to supplement the talk that I gave on Feb 19, 2004, at the First East Asian School of Knots and Related Topics, Seoul, South Korea. In this article I review aspects of the interconnections between braids, knots and contact structures on Euclidean 3-space. I discuss my recent work with William Menasco (arXiv math.GT/0310279)} and (arXiv math.GT/0310280). In the latter we prove that there are distinct transversal knot types in contact 3-space having the same topological knot type and the same Bennequin invariant.

研究の動機と目的

• 横断的位相型が位相的型と Bennequin 不変量のみによって決定されるかどうかを解明すること。
• 横断的 Markov 定理が横断的 knot の分類においてどの程度制限を受けるかを調査すること。
• 位相的に同値だが横断的に位相型でない明示的な横断的 knot の例を構成すること。
• ブレイディング割り当てとフライプテンプレートを用いた位相的障害を確立し、横断的位相型の排除を行うこと。

提案手法

• ブロックストランド図とフライプテンプレートを用いて、閉じた 3-ブレイドの位相型関係を分析する。
• ネガティブ・フライプテンプレートを適用し、特定のブレイドが横断的位相型によって接続されないことを示す。
• テンプレート内のブロックへのブレイディング割り当てを用いて、異なる β 不変量を持つ 2 成分リンクを定義する。
• Eliashberg の位相型拡張定理を適用し、横断的位相型が成分の β 不変量を保存する必要があることを示す。
• 背理法を用いる：もし横断的位相型が存在すれば、β 不変量を保存するが、フライプはそれらを変化させるため、そのような位相型は存在できない。
• 特定のバージョンの Markov 定理（3-ブレイドに制限され、不安定化や交換移動を除く）に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同一の位相的型と Bennequin 不変量を持つ 2 つの横断的 knot が横断的に位相型でないことがあるか？
• RQ2 横断的 Markov 定理は、ブレイド理論における古典的 Markov 定理と同値か？
• RQ3 閉じたブレイドに同一の不変量がある場合、横断的位相型を妨げる位相的または力学的障害は何か？
• RQ4 3-ブレイドにおけるフライプテンプレートは、横断的位相型の下で正負の両方のフライプを許容するか？
• RQ5 リンクの成分の β 不変量は横断的位相型の下で保存されるか？そして、その保存性は位相型の存在にどのような制約を与えるか？

主な発見

• 本稿は、同一の位相的型と Bennequin 不変量（14 − 3 = 11）を持つが、横断的に位相型でない明示的な横断的 knot の例を構成している。
• 例は閉じた 3-ブレイドである：σ₁⁵σ₂⁴σ₁⁶σ₂⁻¹ と σ₁⁵σ₂⁻¹σ₁⁶σ₂⁴ であり、これらはネガティブ・フライプによって位相的に同値である。
• これらの knot 間の横断的位相型が存在するためには、両方のブレイドを支持するテンプレートが必要だが、唯一の可能なテンプレートはネガティブ・フライプテンプレートである。
• 位相型は存在できない。なぜなら、それは成分の β 不変量を保存する必要があるが、フライプは β(L₁) と β(L₂) を (−1, −3) から (−3, −1) に変化させ、不変性を破るからである。
• Eliashberg の定理により、矛盾が生じる。この定理は、任意の横断的位相型が周囲の 3-球面に拡張可能であり、したがって成分の不変量を保存することを保証する。
• この結果は、横断的 Markov 定理が一般に成り立たないことを示しており、与えられた位相的型のすべての横断的代表元が、正の安定化／不安定化のみによって関係付けられるわけではない。