[論文レビュー] Branching processes in a Lévy random environment

Sandra Palau, Juan Carlos Pardo|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 25被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、ブラウン運動およびポアソン確率測度によって駆動される確率微分方程式（SDE）の強い解として、レヴィのランダム環境における連続状態の分岐過程に移入と競争を組み込んだものを構成することにより、そのような過程を導入する。主な貢献は、有限時間爆発を含む一般な条件下で強い解の存在と一意性を確立することであり、最近の移入および競争機構を伴うランダム環境下の分岐過程に関する結果を拡張することにある。

ABSTRACT

In this paper, we introduce branching processes in a Lévy random environment. In order to define this class of processes, we study a particular class of non-negative stochastic differential equations driven by Brownian motions and Poisson random measures which are mutually independent. The existence and uniqueness of strong solutions are established under some general conditions that allows us to consider the case when the strong solution explodes at a finite time. We use the latter result to construct continuous state branching processes with immigration and competition in a Lévy random environment as a strong solution of a stochastic differential equation. We also study some properties of such processes that extends recent results obtained by Bansaye et al. in (Electron. J. Probab. 18, no. 106, 1-31, (2013)), Palau and Pardo in (arXiv:1506.09197 (2015)) and Evans et al. in (J. Math. Biol., 71, 325-359, (2015)).

研究の動機と目的

• レヴィ過程としてモデル化されたランダム環境の揺らぎを組み込んだ連続状態の分岐過程を拡張すること。
• ブラウン運動およびポアソン確率測度によって駆動される確率微分方程式（SDE）の強い解の存在と一意性を、ランダム環境下で研究すること。
• レヴィのランダム環境下で、移入および競争を組み込んだ連続状態の分岐過程を、SDEの強い解として構成すること。
• 特に移入および競争を含む最近のランダム環境下の分岐過程に関する結果を一般化すること。
• SDEを用いて環境ノイズ、競争、および移入を統合的にモデル化する枠組みを提供すること。

提案手法

• 独立なブラウン運動およびポアソン確率測度によって駆動される非負の確率微分方程式（SDE）のクラスを定式化する。
• 有限時間爆発の可能性を含む一般な条件下で、強い解の存在と一意性を確立する。
• ドリフト、拡散、ジャンプ、移入、競争を組み込んだSDEの唯一の強い解として、レヴィのランダム環境下の分岐過程を定義する。
• コーシー＝リプシッツの定理と一様収束の議論を用いて、近似解列の収束を証明する。
• グロワールの補題および指数関数および凸関数の上界の一様性を用いて、解の極限における収束を制御する。
• 補正済みポアソン測度およびレヴィ特性を伴う強度測度を用いて、ジャンプおよび環境ノイズをモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 レヴィのランダム環境下の分岐過程を記述する確率微分方程式に対して、強い解が存在する条件は何か？
• RQ2 移入および競争を伴う連続状態の分岐過程は、ランダム環境下のSDEの強い解としてどのように構成できるか？
• RQ3 レヴィのランダム環境は、移入および競争を伴う分岐過程の長期的挙動にどのように寄与するか？
• RQ4 SDE枠組みにおいて、移入および競争のメカニズムは、ランダム環境の揺らぎとどのように相互作用するか？
• RQ5 有限時間爆発の可能性を含む一般な条件下で、近似解列の真の解への収束を厳密に確立できるか？

主な発見

• 本稿では、ブラウン運動およびポアソン確率測度によって駆動される非負のSDEのクラスに対して、解が有限時間に爆発する可能性を含む一般な条件下でも、強い解の存在と一意性を確立している。
• レヴィのランダム環境下で、移入および競争を伴う連続状態の分岐過程が、ドリフト、拡散、ジャンプ、移入、競争の各成分を含む特定のSDEの唯一の強い解として構成されている。
• 環境過程の列における一様収束を仮定した下で、近似解列の真の解への収束が、グロワールの補題および指数関数および凸関数の上界の一様性を用いて証明されている。
• 極限における後向きSDEの解が一意的かつ連続的であり、ほとんど確実に全確率空間上で収束することが示されている。
• レヴィ駆動の環境ノイズを組み込むことで、最近のランダム環境下の分岐過程に関する先行研究、特に移入および競争を含むものに対して、一般化および拡張している。
• 解析により、レヴィ測度および競争機構に関するややきつい可積分性および正則性条件のもとで、解が非負であり、パスごとの一意性を保つことが確認されている。