[論文レビュー] Branching processes with pairwise interactions

Gabriel Berzunza Ojeda, Juan Carlos Pardo|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2020

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、個体が出生、死、協力、競争のイベントを経験する二項相互作用を伴う分岐過程（BPI過程）を導入する。モーメント双対性とランベールト型の時間変換を用いて、爆発、絶滅、無限大からの下降、定常性に関する積分的判定条件を導出し、過程が定常分布を有するか、0および1における正規境界挙動を示す条件を特定する。

ABSTRACT

In this manuscript, we are interested in the long-term behaviour of branching processes with pairwise interactions (BPI-processes). A process in this class behaves as a pure branching process with the difference that competition and cooperation events between pairs of individuals are also allowed. Here, we provide a series of integral tests that explain how competition and cooperation regulate the long-term behaviour of BPI-processes. In particular, such integral tests describe the events of explosion and extinction and provide conditions under which the process comes down from infinity. Moreover, we also determine whether the process admits, or not, a stationary distribution. Our arguments use a random time change representation in terms of a modified branching process with immigration and moment duality. The moment dual of BPI-processes turns out to be a family of diffusions taking values on $[0,1]$ which are interesting in their own right and that we introduce as generalised Wright-Fisher diffusions.

研究の動機と目的

• 標準的な純粋分岐過程を超えて、二項相互作用（協力と競争）を含む分岐過程の長期的挙動を分析すること。
• このような過程が爆発する、絶滅する、または無限大から有限の集団に下降する条件を特定すること。
• BPI過程が定常分布を有するかどうかを調査すること。
• 一般化されたワイド・ファーマー拡散過程としてのモーメント双対過程を確立し、双対ダイナミクスに関する新たな知見を提供すること。

提案手法

• 著者らは、BPI過程を移民を伴う変更された分岐過程と関連付けるための確率的時間変換表現を用いる。
• 彼らはモーメント双対性を適用し、[0,1] 上の拡散過程の族、すなわち一般化されたワイド・ファーマー拡散過程とBPI過程を結びつける。
• BPI過程の無限小生成作用素は、集団サイズに比例する率（自然な出生・死）と、その二乗に比例する率（協力・競争）を含む形で定義される。
• 境界挙動の分類のため、相互作用機構 $\Phi_{c,b}(u)$ と分岐機構 $\Psi_{d,\rho}(u)$ に基づく積分的テストが導出される。
• ランベールト変換を用いて、BPI過程を時間変換された過程と関連づけ、爆発と絶滅の解析を可能にする。
• フェラーのスケール測度およびスピード測度基準を適用し、$\Phi_{c,b}$ および $\Psi_{d,\rho}$ を含む積分の収束性に基づいて、0および1における境界挙動を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BPI過程が有限時間内に爆発するのはどのような条件下か。また、相互作用機構はその挙動にどのように影響するか。
• RQ2 BPI過程がほとんど確実に絶滅するのはいつか。協力と競争は絶滅確率にどのように寄与するか。
• RQ3 過程が無限大から下降するのはいつか。また、相互作用機構はこの挙動にどのような役割を果たすか。
• RQ4 BPI過程が定常分布を有するか。その存在を規定する積分的条件は何か。
• RQ5 パラメータ $c$, $d$, および $b$ に依存して、0における境界挙動（吸収、反射、入口、出口）はどのように変化するか。

主な発見

• 過程が爆発するのは、$\int_0^1 \int_0^x \frac{1}{y \Phi_{c,b}(y)} \, dy \, dx = \infty$ であるときであり、これは $\Phi_{c,b}$ が0付近での挙動に依存する。
• 絶滅は、$\int_0^1 \int_0^x \frac{1}{y \Phi_{c,b}(y)} \, dy \, dx < \infty$ のときほとんど確実に発生し、この条件は相互作用機構の可積分性と関連する。
• 過程が無限大から下降するのは、$\int_0^1 \int_0^x \frac{1}{y \Phi_{c,b}(y)} \, dy \, dx < \infty$ かつ $\int_0^1 \frac{\Psi_{d,\rho}(x)}{x \Phi_{c,b}(x)} \, dx = \infty$ のときであり、この条件により、無限大から有限の集団に到達することが保証される。
• 定常分布が存在するのは、$\int_0^1 \frac{\Psi_{d,\rho}(x)}{x \Phi_{c,b}(x)} \, dx < \infty$ のときであり、これは分岐機構と相互作用機構のバランスに依存する。
• 境界0が正規反射的であるのは $d > 0$ かつ $\Phi_{c,b}$ が0から離れて有界であるときであり、入口境界であるのは $d > c$ のときであり、出口境界であるのは $d = 0$ のときであり、自然死と競争の相対的強度に依存する。
• $d = c$ のとき、境界0が入口境界であるのは $\mathcal{S}_{c,\rho}^{c,b}(\theta;0) = -\infty$ のときであり、それ以外は正規境界である。正規反射は双対過程によって確認される。