[論文レビュー] Branching rules for quantum toroidal gl(n)

Boris Feigin, M. Jimbo+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、量子トロイダル代数 $\mathcal{E}_n(q_1,q_2,q_3)$ 内で、$\mathfrak{gl}(n)\otimes\mathfrak{gl}(m)\subset\mathfrak{gl}(n+m)$ の量子トロイダル版を構成し、この部分代数への表現の制限に関する分岐則を確立する。主な結果は、平面分割とモジュラーパラメータを含む、マクマホンモジュールの下位ランクモジュールのテンソル積への推測的分解公式であり、レベル $K$ および量子パラメータに明示的な依存関係を有する。

ABSTRACT

We construct an analog of the subalgebra $Ugl(n)\otimes Ugl(m)$ of $Ugl(m+n)$ in the setting of quantum toroidal algebras and study the restrictions of various representations to this subalgebra.

研究の動機と目的

• 古典的部分代数埋め込み $\mathfrak{gl}(n)\otimes\mathfrak{gl}(m)\subset\mathfrak{gl}(n+m)$ を量子トロイダル設定に一般化すること。
• 量子トロイダル代数 $\mathcal{E}_n$ の表現を、構築した部分代数に制限することの研究。
• マクマホンモジュールが $\mathcal{E}_{n-1}$ および $\mathcal{E}_1$ モジュールのテンソル積に分解されることを推測すること。
• 量子トロイダル代数 $\mathcal{E}_n$ の conformal limit を通じて、共形場理論および AGT 予想への接続を図ること。
• $\mathcal{E}_{n-1}$ の $\mathcal{E}_n$ 内の可換環を、有限次元モジュールの解析接続を通じて理解するための枠組みを提供すること。

提案手法

• $\mathfrak{gl}(n)\otimes\mathfrak{gl}(m)$ の量子トロイダル版として、$\mathcal{E}_n$ 内に部分代数 $\mathcal{E}_n^{n-1|0} \otimes \mathcal{E}_1^{n-1||0}$ を構成する。
• パrameter $k$ に関する有限次元モジュール $\mathcal{N}_{\alpha,\beta}^{(n;p)}(u)$ の解析接続を用いて、マクマホンモジュール $\mathcal{M}_{\alpha,\beta,\emptyset}^{(n;p)}(u,K)$ を定義する。
• 量子パラメータ $q_1 = \varepsilon^{\sigma_1}, q_2 = \varepsilon^{\sigma_2}, q_3 = \varepsilon^{\sigma_3}, \kappa = \varepsilon^k, \varepsilon \to 1$ の conformal limit を適用し、代数を頂点演算子代数と関連付ける。
• 二重線形形式を符号化するために、Gordon 行列 $G_{i,j} = \min\{i,j\}$ を用いる。
• 整数 $j$ に関する和、$i_r, i_r'$ に対するモジュラー制約、非負整数 $l_r, l_r'$ を含む、$\mathcal{E}_{n-1}^{n-1|0} \otimes \mathcal{E}_1^{n-1||0}$-モジュールの推測的同型を導出する。
• 勾配シフトとスペクトルフローを符号化するためのパrameter $\rho(i,i';j)$ および $w(i,i';j)$ を導入し、$y_r = \sum_{s=1}^r p_s$ および $y_r' = n l_r'$ を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的埋め込み $\mathfrak{gl}(n)\otimes\mathfrak{gl}(m)\subset\mathfrak{gl}(n+m)$ をどのように量子トロイダル設定に一般化できるか？
• RQ2 $\mathcal{E}_{n-1}^{n-1|0}$ の $\mathcal{E}_n$ 内の可換環の構造は何か？
• RQ3 マクマホンモジュールは、部分代数 $\mathcal{E}_{n-1}^{n-1|0} \otimes \mathcal{E}_1^{n-1||0}$ に制限されたときにどのように分解されるか？
• RQ4 conformal limit は、量子トロイダル代数と共形場理論および AGT 予想をどのように結びつけるか？
• RQ5 量子トロイダル代数 $\mathcal{E}_n$-モジュールの分岐則は、平面分割とモジュラーパラメータを用いて表現可能か？

主な発見

• 本稿は、量子トロイダル代数 $\mathcal{E}_n$ 内に、古典的 $\mathfrak{gl}(n)\otimes\mathfrak{gl}(m)$ 埋め込みの量子トロイダル版に相当する部分代数 $\mathcal{E}_n^{n-1|0} \otimes \mathcal{E}_1^{n-1||0}$ を構成する。
• マクマホンモジュール $\mathcal{M}_{\alpha,\beta,\emptyset}^{(n;0)}(u,K)$ は、特定の勾配シフトを伴う $\mathcal{E}_{n-1}^{n-1|0}$ および $\mathcal{E}_1^{n-1||0}$ モジュールのテンソル積の直和に分解されると推測される。
• 分解には整数 $j$ に関する和、$i_r, i_r'$ の $n-1$ を法とするモジュラー制約、非負整数 $l_r, l_r'$ が含まれ、非ゼロ項は有限個である。
• 勾配シフトは $\rho(i,i';j) = \frac{n(n-1)}{2}j + \frac{n-1}{2}\sum p_r + \frac{n+1}{2}\sum (i_r + i_r') - \frac{1}{2(n-1)}\sum (i_r^2 + (i_r')^2)$ で符号化される。
• スペクトルフローのパラメータは $w(i,i';j) = \sum_r (\eta^{(p_r)} + \eta_{i_r} + \eta_{i_r'}) - j\eta$ で与えられ、$\eta$ および $\eta^{(p_r)}$ は $q$-変形パラメータによって定義される。
• 分解公式には、$y_r' = n l_r'$ を満たす $y_r$ および $y_r'$ を用いた二重線形形式 $\frac{1}{2}(y^t G y + (y')^t G y')$ と、制約 $\sum r l_r - \sum r l_r' = (n-1)j + \sum (i_r + p_r + i_r') + \sum r m_r$ が含まれる。