[論文レビュー] Branching rules for ramified principal series representations of GL(3) over a p-adic field

Peter S. Campbell, Monica Nevins|ArXiv.org|Oct 17, 2007

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、p進体上のGL(3)の分岐主系列表現の分岐則を、最大コンパクト部分群K = GL(3, R)への制限を用いて確立する。Iwahori部分群のフィルトレーションと二重coset C_c \backslash K / C_dの解析を通じて、相互作用作用素を特定し、既約性を特徴づける。分解は誘導キャラクターの分岐度に依存しており、相互作用作用素の数がqに関して多項式的に増加する場合に可約性が生じることを明らかにする。

ABSTRACT

We decompose the restriction of ramified principal series representations of the $p$-adic group $\mathrm{GL}(3,\mathrm{k})$ to its maximal compact subgroup $K=\mathrm{GL}(3,\mathscr{R})$. Its decomposition is dependent on the degree of ramification of the inducing characters and can be characterized in terms of filtrations of the Iwahori subgroup in $K$. We establish several irreducibility results and illustrate the decomposition with some examples.

研究の動機と目的

• GL(3, k)の分岐主系列表現が最大コンパクト部分群K = GL(3, R)に制限されたときの分解を理解すること。
• 分解が誘導キャラクターの分岐度にどのように依存するかを特徴づけること。
• 制限された表現の成分が既約である条件を特定すること。
• コンパクト開部分群を介して、p進群の表現論と有限局所環上のリー群の表現論との間の関係を確立すること。
• 分解の構造と相互作用作用素の役割を示す明示的例を提供すること。

提案手法

• 著者たちは、Tのキャラクターχに対する主系列表現φ = Ind_B^K χを最大コンパクト部分群K = GL(3, R)に制限して分析する。
• K内でのIwahori部分群のフィルトレーションを用い、相互作用作用素を支持する二重coset C_c \backslash K / C_dを分類する。
• 主な技術的道具は、Corollary 2.3に基づき、二重coset空間のサイズに関連して、商V_cとV_d間の相互作用作用素の数を計算することである。
• 分解は、U_cをフィルトレーションで定義される部分加群として得られる商V_c = U_c / U_{c+1}の構造を通じて研究される。
• 既約性は、相互作用作用素の増加率によって分析される：線形増加は既約性を示し、多項式的増加は可約性を示す。
• M=1、N=2の特定のキャラクターを用いた明示的例が構成され、図や次元表を用いて分解の構造が可視化される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GL(3, k)の分岐主系列表現の分解が、誘導キャラクターの分岐度にどのように依存するか？ その分解は、K = GL(3, R)の既約成分にどのように分解されるか？
• RQ2 制限された表現において、非自明な相互作用作用素を支持する二重coset C_c \backslash K / C_dはどれか？
• RQ3 商V_cが既約である条件は何か？ また、相互作用作用素の数が多項式的に増加する場合に可約性が生じる条件は何か？
• RQ4 異なる三重対c ≠ dに対して、V_cとV_dに同型な既約成分が現れることがあるか？ もしあるなら、そのインデックスに課される制約は何か？
• RQ5 フィルトレーションにおける各商V_cの正確な次元は何か？ また、誘導キャラクターのパラメータにどのように依存するか？

主な発見

• 制限された表現の分解は、誘導キャラクターの分岐度に強く依存しており、分岐度の異なる場合に顕著な異なる挙動が観察される。
• V_cの既約性は、相互作用作用素の増加率によって決定される：c_3に関して線形に増加する場合、V_cは既約である。それ以外の場合は可約である可能性がある。
• M=1およびN=2の場合、V_{(2,3,4)}はq−2個の異なる既約成分に分解されると予想され、それぞれの次元はq^4(q−1)(q−2)αである。
• 商V_{(1,4,4)}の次元はq^5(q−1)αであり、図5.2の†で示されるように、V_{(2,3,4)}の既約和成分の一つと同型な成分を含む。
• 同型な既約表現がV_cとV_dに現れるのは、c_3 = d_3である場合に限られる。そうでない場合、群C_cとC_dはK_nフィルトレーションの異なるレベルに位置し、相互作用は不可能である。
• 商V_cの次元は明示的に計算され、表5.2にリストアップされており、α = (q+1)(q^2+q+1)である。これにより、V_cの次元がqに関して多項式的であることが示される。