[論文レビュー] Breaking the uniqueness of the Shape Dynamics Hamiltonian

Henrique Gomes|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2012

Protein Structure and Dynamics参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、特定の物質場や宇宙定数と結合する場合、形状力学（Shape Dynamics）の全空間ハミルトニアンが一意でないことを示している。これは、基礎となる微分作用素の核が非自明になるためである。単一のハミルトニアンの代わりに、弱く可換な有限個の全空間ハミルトニアンが理論に許容され、局所的共形不変性を保ちつつ、リッチュネローツ型方程式に陰関数定理を適用することで真空中でない場合への枠組みの拡張がなされる。

ABSTRACT

In earlier works on Shape Dynamics (SD), a linear method of solving a particular set of Lichnerowicz-type equations through the implicit function theorem was developed in order to implicitly construct SD's global Hamiltonian and eliminate second class constraints. This method was later used for extending Shape Dynamics (SD) to the non-vacuum case, showing how other fields are coupled to the theory. In that study it was found that unlike the vacuum case the use of such methods yielded puzzling bounds on the density of some types of fields. Here we show that the original SD cannot be extended beyond such bounds, but that a slight modification of the original can withstand any type of coupling. When the bound is broken, the theory does not come equipped with a single Hamiltonian as in vacuum SD, but with a finite set of weakly commuting Hamiltonians, which we describe.

研究の動機と目的

• 物質場や宇宙定数を含む非真空中系に拡張した場合、元の形状力学の構成が破綻することを解消すること。
• 元の線形的手法によるハミルトニアン構成が無効になる数学的障害——微分作用素の線形項が正でない——を特定すること。
• 一意性の喪失にもかかわらず、複数の互換性のある全空間ハミルトニアンを許容することで、整合的な形状力学理論が依然として存在することを示すこと。
• スタッケルベルク場と物質修正微分作用素の核が、独立した時間発展演算子の数を決定する役割を明確にすること。
• 陰関数定理を用いた堅牢な枠組みを確立し、非真空中の形状力学の制約方程式の局所的可解性を保証すること。

提案手法

• 拡張された位相空間における第二級制約から生じるリッチュネローツ＝ヨーク型方程式を解くために、陰関数定理を適用する。
• 正準変換とスタッケルベルク機構を用いて、補助スカラー場とその共役運動量をADM位相空間に追加する。
• スカラー制約を、可逆なポアソン括弧を持つ部分に分解し、第二級制約を分離して消去する。
• 物質修正微分作用素 $\Delta_{\text{matter}}$ の核を解析し、計量係数 $N_i$ の独立解の数を特定する。
• $\Delta_{\text{matter}}$ の核の次元に応じた有限個の全空間ハミルトニアンを構成し、弱可換性を保証する。
• 微分作用素の楕円型性を用いて、非真空中における制約系の局所的可解性と適切な定式化を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 物質場や宇宙定数が導入された場合、形状力学のハミルトニアンの一意性はどのように変化するか？
• RQ2 微分作用素の線形項の正定性の欠如が、制約系の可解性にどのように影響するか？
• RQ3 元のハミルトニアンが一意ではなくなる場合でも、整合的な形状力学理論を非真空中に構築できるか？
• RQ4 時間発展演算子が複数存在する場合、形状力学における時間発展の文脈での物理的解釈は何か？
• RQ5 非真空中理論における独立した時間発展演算子の数は、演算子 $\Delta_{\text{matter}}$ の核によってどのように決定されるか？

主な発見

• 物質結合によって微分作用素の線形項が非正になると、元の形状力学の構成では一意な全空間ハミルトニアンが得られなくなる。
• 非真空中における弱可換全空間ハミルトニアンの数は、計量係数の解を支配する演算子 $\Delta_{\text{matter}}$ の核の次元 $n$ に等しい。
• 一意性の喪失にもかかわらず、理論は整合的であり、ADM重力と動的に同等であり、局所的共形不変性が保たれる。
• 陰関数定理により、リッチュネローツ型方程式の局所的可解性を線形基準で保証でき、非線形手法（例：Leray-Schauder理論）の必要性がなくなる。
• スタッケルベルク場 $\phi$ と計量係数 $N_i$ はもはや一対一対応しない。代わりに、核の構造が独立な還元の数を決定する。
• ADM解の近似論的解析においても、物理的解では依然として $\phi_o = 0$ が得られ、非自明な形状力学解の体系的構成が可能になる。