[論文レビュー] Brief Announcement: Distributed Graph Problems Through an Automata-Theoretic Lens

Yi‐Jun Chang, Jan Studený+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

semigroups and automata theory参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ラベルなしのパス、サイクル、ルート付き木における局所的に検証可能なラベリング（LCL）問題の可解性とラウンド複雑度を自動的に決定するための自動機理論的枠組みを導入する。LCL問題をユニタリアルファベット上の非決定的有限自動機（NFA）としてモデル化することで、著者らは、1つのco-NP完全な例外を除き、可解性および局所性（O(1)、Θ(log* n)、またはΘ(n)）が多項式時間で決定可能であることを示しており、分散システムにおける効率的なアルゴリズム合成を可能にする。

ABSTRACT

The locality of a graph problem is the smallest distance $T$ such that each node can choose its own part of the solution based on its radius-$T$ neighborhood. In many settings, a graph problem can be solved efficiently with a distributed or parallel algorithm if and only if it has a small locality. In this work we seek to automate the study of solvability and locality: given the description of a graph problem $Π$, we would like to determine if $Π$ is solvable and what is the asymptotic locality of $Π$ as a function of the size of the graph. Put otherwise, we seek to automatically synthesize efficient distributed and parallel algorithms for solving $Π$. We focus on locally checkable graph problems; these are problems in which a solution is globally feasible if it looks feasible in all constant-radius neighborhoods. Prior work on such problems has brought primarily bad news: questions related to locality are undecidable in general, and even if we focus on the case of labeled paths and cycles, determining locality is $\mathsf{PSPACE}$-hard (Balliu et al., PODC 2019). We complement prior negative results with efficient algorithms for the cases of unlabeled paths and cycles and, as an extension, for rooted trees. We introduce a new automata-theoretic perspective for studying locally checkable graph problems. We represent a locally checkable problem $Π$ as a nondeterministic finite automaton $\mathcal{M}$ over a unary alphabet. We identify polynomial-time-computable properties of the automaton $\mathcal{M}$ that near-completely capture the solvability and locality of $Π$ in cycles and paths, with the exception of one specific case that is $\mbox{co-$\mathsf{NP}$}$-complete.

研究の動機と目的

• 局所的に検証可能なグラフ問題における効率的な分散および並列アルゴリズムの自動合成を実現すること。
• ラベルなしのパス、サイクル、およびルート付き木におけるLCL問題のラウンド複雑度を特定すること。
• 一般には決定不能であることが知られているが、可解性および局所性が効率的に決定可能な条件を同定すること。
• 還元を用いて、パスおよびサイクルからの結果をルート付き木におけるエッジ検証可能なLCL問題へ拡張すること。
• 自動機理論的性質を用いてLCL問題の複雑度の地図を特徴付けること。

提案手法

• 各LCL問題を、問題の局所的制約を表すユニタリアルファベット上の非決定的有限自動機（NFA）としてモデル化する。
• 自動機の性質（例えば、柔軟な状態の存在やD3指向語の存在）を用いて、問題の可解性および局所性を特定する。
• 一方向アルゴリズムを用いて、ルート付き木における距離-k アンカーリングを定義・計算することで、正規化された解法を可能にする。
• ノードの出力が祖先にのみ依存するように保証することで、有向パスからのアルゴリズムをルート付き木に変換し、同時に実行可能にする。
• 自動機解析を用いて、サイクルおよびパスにおける可解性と局所性が多項式時間で決定可能であることを証明するが、1つのco-NP完全な例外を除く。
• ルート付き木問題をパス問題に還元することで、線形構造を超えた結果の拡張を図る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラベルなしのパスおよびサイクルにおけるLCL問題の可解性とラウンド複雑度を自動的に決定できるか？
• RQ2 ユニタリアルファベット上でのNFAのどの自動機理論的性質が、LCL問題における可解性および局所性に対応するか？
• RQ3 パスおよびサイクルにおける結果を、ルート付き木におけるエッジ検証可能なLCL問題へ拡張できるか？
• RQ4 任意の非自明なクラスについて、ルート付き木におけるLCL問題のラウンド複雑度は多項式時間で決定可能か？
• RQ5 ルート付き木におけるLCL問題のうち、ラウンド複雑度が多項式時間で決定可能な最大クラスは何か？

主な発見

• ユニタリアルファベット上でのNFAの性質を用いることで、ラベルなしのパスおよびサイクルにおけるLCL問題の可解性と局所性は多項式時間で決定可能であり、1つの例外（co-NP完全）を除く。
• NFAに柔軟な状態が存在するか、強連結成分に対してD3指向語が存在することは、有限の局所的複雑度（O(1) または Θ(log* n)）を持つ問題を特徴付ける。
• 局所的複雑度が有限であるサイクルおよびパス上のすべてのLCL問題は、O(1) または Θ(log* n) ラウンドで解可能であり、中間の複雑度は存在しない。
• エッジ検証可能なLCL問題のラウンド複雑度は、パス問題に還元することで、ルート付き木においても多項式時間で決定可能である。
• 距離-k アンカーリングと一方向計算を用いることで、ルート付き木におけるO(log* n)ラウンド問題の正規化されたアルゴリズムを構築可能である。
• 本フレームワークにより、構造的ネットワークにおけるLCL問題の効率的分散アルゴリズムの自動合成が可能となり、アルゴリズム設計における実用的意義を有する。