[論文レビュー] Brill-Noether theory on singular curves and vector bundles on K3 surfaces

Tomás L. Gómez|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 1997

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、−K_S が全局的セクションによって生成される正則な表面に存在する特異的で連結な曲線のブライル・ノイザー多様体の連結性を確立し、フュルトゥンとラザルフェルトの滑らかな曲線に関する結果を拡張する。これにより、K3 表面上のランク 2 の半安定な torsion-free ファイバーのモジュライ空間の不連結性について、以前オグレディが異なる手法で示した結果を新たな証明が与える。

ABSTRACT

Let C be a smooth curve. Let W r d be the Brill-Noether locus of line bundles of degree d and with r + 1 independent sections. W r d has a expected dimension ρ(r, d) = g − (r + 1)(g − d + r). If ρ(r, d)> 0 then Fulton and Lazarsfeld have proved that W r d is connected. We prove that this is still true if C is a singular irreducible curve lying on a regular surface S with −KS generated by global sections. We use this result to give a new proof of the irreducibility of the moduli space of rank 2 semistable torsion free sheaves (with a generic polarization and any value of c2) on a K3 surface (this result was recently proved by a different method by O’Grady). This paper has two quite independent parts. In the first part we prove a result on the connectedness of the Brill-Noether locus for a singular curve (theorem I), and in the second part we use this result to give a proof about the irreducibility of the moduli space of vector bundles of rank 2 on a K3

研究の動機と目的

• 滑らかな曲線から特異的で連結な曲線へのブライル・ノイザー多様体の連結性結果をフュルトゥンとラザルフェルトの結果から拡張すること。
• −K_S が全局的セクションによって生成されるような表面に埋め込まれた特異的曲線上の線形系の幾何を調査すること。
• 連結性結果を K3 表面上のランク 2 の半安定な torsion-free ファイバーのモジュライ空間に応用すること。
• オグレディが異なる手法を用いて以前に示した、このモジュライ空間の不連結性についての代替的証明を提供すること。

提案手法

• −K_S が全局的セクションによって生成される正則的表面 S 上の特異的曲線の設定を用いて、ブライル・ノイザー理論を一般化すること。
• 変形理論的技法を用いて、特異的曲線上の W^r_d の連結性を分析すること。
• 表面 S の幾何と canonical ディバイザーの性質を活用して、線形系の振る舞いを制御すること。
• モジュライ空間の不連結性問題を、幾何的議論によってブライル・ノイザー多様体の連結性に還元すること。
• 特異的曲線の結果を、K3 表面上のランク 2 ファイバーのモジュライ空間の不連結性の証明に鍵的に入力すること。
• 曲線の代数的幾何と K3 表面上のベクトル束の結果を組み合わせて、主要定理を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 −K_S が全局的セクションによって生成される正則的表面に存在する特異的で連結な曲線 C 上で、ブライル・ノイザー多様体 W^r_d は連結性を保つのか？
• RQ2 特異的曲線上での W^r_d の連結性は、K3 表面上のファイバーのモジュライ空間の幾何的性質を導くのに利用できるか？
• RQ3 K3 表面上のランク 2 の半安定な torsion-free ファイバーのモジュライ空間は不連結であるか。また、特異的曲線上のブライル・ノイザー理論を用いてこれを示せるか？
• RQ4 ネフな反 canonical ディバイザーを持つ表面における特異的曲線の設定は、線形系およびその多様体の構造にどのように影響するか？
• RQ5 表面 S にどのような幾何的制約を課すと、特異的場合におけるブライル・ノイザー多様体の連結性が保たれるか？

主な発見

• −K_S が全局的セクションによって生成される正則的表面 S 上に存在する特異的で連結な曲線 C に対して、ブライル・ノイザー多様体 W^r_d は連結である。
• この連結性結果は、滑らかな曲線に対するフュルトゥンとラザルフェルトの古典的定理を、より広い特異的曲線のクラスへ一般化する。
• 反 canonical ディバイザー −K_S が基本点を持たず、全局的セクションによって生成されるという条件下で、特異的曲線上の W^r_d の連結性が確立される。
• この結果は、任意の固定された c2 および一般の極性を備えた K3 表面上のランク 2 の半安定な torsion-free ファイバーのモジュライ空間の不連結性を証明するために応用される。
• 証明は、オグレディが異なる手法を用いて以前に示した結果について、新たな幾何的戦略を提供する。
• 本稿は、表面 S の幾何と特異的曲線上の線形系の振る舞いが、ファイバーのモジュライ空間に強く影響を与える可能性を示している。