[論文レビュー] Broad Band Solitons in a Periodic and Nonlinear Maxwell System

Dmitry E. Pelinovsky, Gideon Simpson+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2011

Advanced Fiber Laser Technologies参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ディラックのデルタ関数からなる屈折率を有する1次元周期的・非線形マクスウェル系における広帯域ソリトンを研究する。漸近的・解析的・数値的手法を用いて、分岐理論と数値連続化を用いて、帯域端付近に小振幅で空間的に局在するギャップソリトンの存在を確立し、切断された系における頑健性を示し、長時間のダイナミクスにおけるNLS近似の妥当性を検証する。

ABSTRACT

We consider the one-dimensional Maxwell equations with low contrast periodic linear refractive index and weak Kerr nonlinearity. In this context, wave packet initial conditions with a single carrier frequency excite infinitely many resonances. On large but finite time-scales, the coupled evolution of backward and forward waves is governed by nonlocal equations of resonant nonlinear geometrical optics. For the special class of solutions which are periodic in the fast phase, these equations are equivalent to an infinite system of nonlinear coupled mode equations, the so called it extended nonlinear coupled mode equations, xNLCME. Numerical studies support the existence of long-lived spatially localized coherent structures, featuring a slowly varying envelope and a train of carrier shocks. In this paper we explore, by analytical, asymptotic and numerical methods, the existence and properties of spatially localized structures of the xNLCME system, which arises for a refractive index profile consisting of periodic array of Dirac delta functions. We consider the limit of small amplitude solutions with frequencies near a band-edge. In this case, stationary xNLCME is well-approximated by an infinite system of coupled, stationary, nonlinear Schrödinger equations, the extended nonlinear Schrödinger system, xNLS. We embed xNLS in a one-parameter family of equations, xNLS$^ε$, which interpolates between infinitely many decoupled NLS equations ($ε=0$) and xNLS ($ε=1$). Using bifurcation methods we show existence of solutions for a range of $ε\in(-ε_0,ε_0)$ and, by a numerical continuation method, establish the continuation of certain branches all the way to $ε=1$. Finally, we perform time-dependent simulations of truncated xNLCME and find the small-amplitude solitons to be robust to both numerical errors and the NLS approximation.

研究の動機と目的

• 周期的・非線形マクスウェル系から導かれる拡張非線形結合モード方程式（xNLCME）における空間的に局在するコherent構造の存在を調査すること。
• xNLCMEを小振幅解の帯域端近傍で解析し、無限個の結合非線形シュレーディンガー方程式（xNLS）の無限系に近似すること。
• 非結合NLS（ϵ=0）から完全結合NLS（ϵ=1）に至る1パラメータ族のxNLSϵを導入し、パラメータ範囲内で非自明な局在解の存在を示すこと。
• 時間発展シミュレーションおよび数値誤差に対する近帯域端ギャップソリトンの頑健性を示し、NLS近似の妥当性を検証すること。
• 一般の屈折率プロファイルを有するxNLCMEおよびxNLSにおける局在解の存在および関数空間における正則性に関する未解決問題を特定すること。

提案手法

• 多重スケール漸近解析を用いて、低対比周期的屈折率および弱いカー非線形性を有するマクスウェル方程式から拡張非線形結合モード方程式（xNLCME）を導出する。
• 小振幅・帯域端極限において、xNLCMEを無限個の定常非線形シュレーディンガー方程式（xNLS）の無限系に近似する。
• 非結合NLS（ϵ=0）からxNLS（ϵ=1）に至る1パラメータ族の式xNLSϵを導入し、解の分岐を研究する。
• 分岐理論を用いて、ϵ∈(−ϵ₀,ϵ₀)における非自明解の存在を証明し、数値連続化を用いて解分岐をϵ=1まで延長する。
• スペクトル空間離散化とRK4時間積分法を用いた、切断されたxNLCME系の時間発展シミュレーションを実施し、ソリトンの安定性を評価する。
• レイリー＝リッツ変分近似（1パラメータおよびガウス型）を用いて臨界点の存在を探索し、解構造の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期的デルタ関数屈折率を有するxNLCME系において、非自明で空間的に局在する解が存在するか？
• RQ2 結合パラメータの範囲において、xNLS系における局在解の存在を分岐法によって確立できるか？
• RQ3 切断されたxNLCME系において、小振幅で近帯域端ギャップソリトンは時間発展に対してどの程度頑健か？
• RQ4 非線形シュレーディンガー（NLS）近似は、これらの局在構造のダイナミクスをどの程度正確に記述できるか？
• RQ5 解の存在に適した関数空間は何か？ また、xNLCMEの任意の有限切断（有限サイズ）に対し、存在性を証明できるか？

主な発見

• 小振幅・帯域端領域におけるxNLCME系に非自明で局在する解が存在し、ϵ∈(−ϵ₀,ϵ₀)において分岐解析により確認された。
• 数値連続化により、解分岐をϵ≈0からϵ=1まで成功裏に延長し、完全結合極限における局在構造の保存を示した。
• 切断されたxNLCME系の時間発展シミュレーションから、小振幅で近帯域端ギャップソリトンが局在を保ち、数値誤差および切断効果に対しても頑健であることが示された。
• NLS近似はこれらのソリトンのダイナミクスを正確に捉えており、μ→0（非線形性が小さい）に近づくほど一致度が向上した。
• ガウス型および1パラメータのレイリー＝リッツ近似から臨界点の存在が示唆されたが、厳密な存在証明は未解決のままである。
• 2モード系および4モード系のさまざまな切断条件および領域サイズにおいて、頑健性が確認され、非線形性が小さい（μ=0.1）場合には最小限の歪みが観察されたが、非線形性が大きい（μ=0.4）場合には増加する振動が観察された。